一、唯一因子分解整环（论文文献综述）
王淑红[1]（2015）在《交换环论的早期历史研究》文中认为抽象代数是数学的重要分支,主要研究群、环、域、模、格等数学结构。环论是抽象代数中较为深刻的一部分,按照乘法是否满足交换律,环可以划分为交换环和非交换环两大类。交换环论和非交换环论虽皆源于19世纪早期,但其起源和发展路径并不相同。交换环理论起源于代数数论、代数几何和不变量理论,其中代数数论这一起源最为重要,反过来,亦主要应用于这些领域。交换环论经由高斯、戴德金、克罗内克、希尔伯特、弗兰克尔、爱米·诺特等数学家的共同努力,在20世纪二、三十年代发展成熟,并渐生诸多应用。本文在大量掌握19、20世纪的原始文献和研究文献的基础上,运用概念分析法剖析交换环论从19世纪到20世纪二、三十年代的起源、发展、完善和传播的具体科学实践过程和理论背景,总结其发展脉络和演化规律；运用比较研究法,分析交换环论的特点和规律,分析其中关键人物对交换环的概念和理论的不同研究方法和结果；综合运用史料的实证方法和编年史方法,理清交换环论的整体历史面貌,并给出合乎史实的恰当评价。最终形成以交换环论的发展演化为经,以交换环论和其他数学分支的关系,以及诸学者间的思想传承为纬的全景图,这对于理解和认识交换环论及其环论和相关学科具有重要理论价值和现实意义。研究结果和结论为：（1）从经典数论中的高次互反律、二元二次型和费马大定理等核心问题出发,重点围绕其中关键的唯一因子分解问题,研究了交换环论在代数数论中的起源,表明高斯、库默尔、戴德金、克罗内克、希尔伯特等数学家在这一进程中发挥了巨大作用,使得复整数环、理想数、理想、序环、环等概念逐步清晰,不但奠定了一维交换代数的基础,而且建立和发展起代数数论这一学科。（2）揭示了交换环论在代数几何和不变量理论中产生的历史过程,特别是希尔伯特所证明的基定理和零点定理、拉斯克尔和麦考莱的准素理想及其准素分解理论。（3）再次确认了第一个提出抽象环概念的数学家弗兰克尔,分析了弗兰克尔是如何在洛伊、亨泽尔、希尔伯特、斯坦尼兹和策梅洛这些学术大家的指引和帮助下走上数学创新的正确道路,并用公理化思想来研究交换环论。认为弗兰克尔以环等数学实例研究实践了公理化思想,用公理化思想把新兴的数学推上了更高的理论层次,为其进一步发展做出了铺垫,公理化、抽象化是他从事数学研究核心思想,也是他在集合论的公理化研究能够集就大成的一个重要因素。（4）分析了爱米·诺特为何从不变式论转到交换环论的研究,并且揭示了爱米·诺特通过对升链条件的重视与应用,完成对抽象环,特别是诺特环的公理刻画,从而建立起抽象交换环论,并促使抽象代数学这门学科正式建立起来。（5）在非交换环论的起源和发展方面,阐述了其起源于复数扩张到各种不同的超复数系的研究,这对理解交换环论在整个环论中的地位有重要作用。（6）论述了环论与群论、域论、代数几何、模范畴、物理学以及格论的关系等,认为交换环论从其产生伊始,就和应用相伴在一起,在环论发展相对完善之后,其逐渐提高的理论层次使得它的应用范围更加广阔,深入到数学的各个分支,并且与这些分支的关系密切而自然,彼此间的相互渗透和交互影响将是未来发展的一大趋势。（7）交换环论的历史波澜壮阔,涉及到费马大定理、高次互反律等历史名题,与代数数论、代数几何和不变式论等多个学科关系密切,同时是从19世纪到20世纪二三十年代数学观念从数、集合到结构思想变迁的一个缩影,其中公理化和结构化占据着主导地位。（8）交换环论中相关数学家的思想传承,既深邃精彩,又代代相承,凝聚了高斯、狄利克雷、库默尔、戴德金、克罗内克、拉斯克尔、麦考莱、希尔伯特、弗兰克尔、爱米·诺特、阿廷、范德瓦尔登、曾炯等一批数学大师思想精粹,是近现代数学史上光彩夺目的篇章,不但大大推动了近现代数学的演进,而且也在人文思想领域播撒了惠及整个人类的精神给养。（9）鉴于曾炯与爱米·诺特及阿廷的师承关系及其曾炯所处的地域和历史时期,对与其相关的内容进行了研究（见附录）。
王仰賢[2]（1964）在《唯一因子分解整环》文中进行了进一步梳理 1.引言我們知道,每个不等于±1及0的整数都可以表为有限个素数的乘积,并且若不計素因子的正負号,这种分解是唯一的。这就是通常所謂的整数唯一因子分解定理。对于一个域上的一元或多元多項式来說,相应的唯一因子分解定理也成立,即域F上每个次数≥1的多項式都可表成有限个在F上不可約的多項式之乘积,并且,在不可約因子差一个卢中的非零元素的意义下这种分解是唯一的。对于整数及域上一元多項式的唯一因子分解定理,通常是基于可以进行带余除法这一事实来証明的。万哲先同志在[1]中就几个重要的数域 （复数域、实数域和有理数域） 及整数环上一元多項式的因子分解問題給了詳細的論述,并且介紹了把带余除法抽象化而得到的一个較一般的概念,即欧氏环,进一步証明,在欧氏环里唯一因子分解定理亦成
向大晶,刘先平,覃海艳[3]（2011）在《Z[—m1/—m]为唯一因子分解整环的刻画》文中研究表明利用一类整环Z[-m～（1/-m）]={x+y-m～（1/-m）|x,y∈Z,m∈N}中不可约元的几个性质,给出了这类整环成为唯一因子分解整环的一个充分必要条件.
王淑红[4]（2015）在《交换环论起源中的三类问题》文中指出环论是抽象代数学中较为深刻的部分,亦是结构数学的重要分支,可分成交换环论和非交换环论两大类。交换环论源于19世纪早期的代数数论、代数几何和不变量论。通过文献考证与概念分析,对交换环论在代数数论中的起源进行研究,认为高次互反律、二元二次型和费马大定理在这一进程中发挥了重要作用。
汪明义[5]（1999）在《环论若干研究方向概述》文中研究表明简要地叙述了抽象代数学的一个重要领域:环论的发展情况,特别地指出了环论与一个困惑了世界智者358年的Fermat大定理间的联系
范一凡[6]（2020）在《基于Coq的“模”观点下线性代数机器证明系统 ——特例：模分解定理的机器证明》文中进行了进一步梳理近年来人工智能发展迅速,已经上升为国家级重大战略,夯实人工智能的基础理论尤为重要。数学定理的机器证明是人工智能基础理论研究的深刻体现,是计算机科学和数学的完美结合,其主要通过计算机对数学理论进行形式化描述并验证定理证明的正确性。随着Coq、Isabella、HOL Light等证明辅助工具的出现,定理的机器证明取得了长足的进展。法国布尔巴基学派认为现代数学由序、代数、拓扑三大母结构组成。线性代数在各种代数分支中占据首要地位,线性代数中仅仅讨论向量空间的结构性质是片面的,还要考虑线性变换在其上的作用,这正是模观点的独到之处。用近世代数中的模理论来研究线性代数,使得线性代数从古典走向现代,带有线性变换的向量空间可以看做主理想整环上的模,因此模分解定理对向量空间的分解具有重要作用。本文基于证明辅助工具Coq,从本实验室的科研成果——“公理化集合论”形式化系统出发,初步实现了模观点下线性代数系统的形式化,并在此基础上完成了模分解定理的机器证明。主要工作如下:1、利用Coq,以“公理化集合论”形式化系统为基础,龚升的《线性代数五讲》为理论依据,形式化构建了群、环、体、域、主理想整环等代数结构,并完成了主理想整环上素元分解定理的机器证明。2、实现了向量空间和模两种代数结构的形式化,并用代码阐述了两者主要的联系与区别。至此,初步建立了代数结构的形式化框架。3、完成了主理想整环上有限生成模分解定理的机器证明,包括有限生成模分解定理的机器证明、准素唯一分解定理的机器证明和循环分解唯一性定理的机器证明。此定理可看做是向量空间与模之间的桥梁,这对线性代数后续的形式化研究意义重大。本文所有形式化过程已被Coq验证,体现了基于Coq的数学定理机器证明具有可靠性和严谨性的特点,证明过程规范、可读、智能。
王淑红,邓明立[7]（2016）在《爱米·诺特对交换环论的贡献》文中指出抽象代数是数学的重要分支,主要研究群、环、域、模、格等数学结构。环论是抽象代数中较为深刻的一部分,按照乘法是否满足交换律,环可以划分为交换环和非交换环两大类。在详尽占有并阅读原始文献和研究文献的基础之上,分析了爱米·诺特为何从不变量论转到交换环论的研究,并且揭示了爱米·诺特通过对升链条件的重视与应用,完成对抽象环,特别是诺特环的公理刻画,从而建立起抽象交换环论,并促使抽象代数学这门学科正式建立起来。
周其生[8]（1995）在《整环Z［］中的因子分解》文中研究说明本文对形如Ｚ［］的整环（特别是Ｄ＜０的情况）分解的唯一性作了一般的讨论，并且注意与二次域Ｑ［］的代数整数环作了一些比较
刘合国,廖军[9]（2021）在《不可约多项式的一个应用》文中提出从一个有名的问题及其几种解法入手,通过把这个问题进行一般化来检验这些解法的适用范围,由此说明在解题时,理解基本概念是非常必要的,运用基本概念进行推理有助于理解问题的本质.
邓从政[10]（2019）在《高斯环■上一类不可约元的判定方法》文中研究指明高斯环■是整环但不一定是唯一分解环,它有及其丰富和独特的代数性质,其元素的不可约性依赖于整数d的取值范围,利用二次剩余理论,探讨其一类特殊元素p取素数时这类元素为不可约元的判定方法,可极大地拓展代数学的发散思维.
二、唯一因子分解整环（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、唯一因子分解整环（论文提纲范文）
（1）交换环论的早期历史研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 研究内容 |
| 1.4 研究方法 |
| 1.5 创新之处 |
| 第二章 交换环论的起源 |
| 2.1 代数数论 |
| 2.1.1 高次互反律 |
| 2.1.2 二元二次型 |
| 2.1.3 费马大定理 |
| 2.1.4 库默尔的理想数 |
| 2.1.5 集合论先驱之一戴德金 |
| 2.1.6 戴德金的理想和序 |
| 2.1.7 克罗内克的除子理论 |
| 2.1.8 戴德金与克罗内克之间的比较 |
| 2.1.9 希尔伯特的环 |
| 2.2 代数几何 |
| 2.2.1 代数曲线的研究方法 |
| 2.2.2 希尔伯特对多项式理想论的贡献 |
| 2.2.3 拉斯克尔对多项式理想论的贡献 |
| 2.2.4 麦考莱对多项式理想论的贡献 |
| 2.3 不变量理论 |
| 第三章 交换环论的发展 |
| 3.1 一代公理化集合论大师弗兰克尔 |
| 3.2 弗兰克尔对p进域的贡献 |
| 3.3 弗兰克尔对环论的贡献 |
| 3.4 弗兰克尔对公理化集合论的贡献 |
| 3.5 弗兰克尔的影响 |
| 3.6 索诺对环论的贡献 |
| 第四章 交换环论的阶段性完善 |
| 4.1 有史以来最杰出的女数学家爱米·诺特 |
| 4.2 爱米·诺特对交换环论的铺垫性工作 |
| 4.3 爱米·诺特对交换环论的标志性贡献 |
| 4.4 爱米·诺特的影响 |
| 第五章 非交换环论的历史发展简述 |
| 5.1 非交换环论的起源 |
| 5.2 非交换环论的发展和成熟 |
| 第六章 《近世代数学》 |
| 6.1 《近世代数学》的主要内容 |
| 6.2 《近世代数学》的影响和传播 |
| 第七章 环论的交叉应用 |
| 7.1 环论的若干交叉应用 |
| 7.2 环论与格论的交叉应用 |
| 7.2.1 环论与格论的关系 |
| 7.2.2 格论思想的起源 |
| 7.2.3 格论思想的发展者奥尔 |
| 7.2.4 奥尔对格论的贡献 |
| 7.3 交换环与非交换环 |
| 7.4 环论与费马大定理 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 1 抽象代数学的中国传人曾炯 |
| 2 曾炯与希尔伯特第17问题研究 |
| 3 数学家和数学教育家杨永芳研究 |
| 4 晚清民初我国中外文数学论文发表与期刊的特殊贡献 |
| 攻读博士学位期间取得的研究成果与参加的学术活动 |
| 致谢 |
（3）Z[—m1/—m]为唯一因子分解整环的刻画（论文提纲范文）
| 1 引言和结论 |
| 2 几个引理 |
| 3 定理的证明 |
（4）交换环论起源中的三类问题（论文提纲范文）
| 1 高次互反律 |
| 2 二元二次型 |
| 3 费马大定理 |
| 4 结语 |
（6）基于Coq的“模”观点下线性代数机器证明系统 ——特例：模分解定理的机器证明（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.1.1 研究背景 |
| 1.1.2 研究意义 |
| 1.2 国内外发展现状 |
| 1.3 模观点下的线性代数简介 |
| 1.4 交互式定理证明工具Coq简介 |
| 1.5 本文研究内容及结构安排 |
| 第二章 Coq的基础内容 |
| 2.1 Coq的基本语法 |
| 2.1.1 构造演算 |
| 2.1.2 归纳构造 |
| 2.2 公理化集合论形式化系统 |
| 第三章 基本代数结构的Coq形式化 |
| 3.1 群、环、域等代数结构的形式化 |
| 3.2 素元因子分解定理的机器证明 |
| 第四章 模及其分解定理的形式化 |
| 4.1 线性代数与其上模的形式化 |
| 4.1.1 向量空间与线性变换 |
| 4.1.2 模的基本概念与性质 |
| 4.1.3 向量空间与模的差异 |
| 4.2 主理想整环上有限生成模分解定理的机器证明 |
| 4.2.1 有限生成模分解定理的机器证明 |
| 4.2.2 准素唯一分解定理的机器证明 |
| 4.2.3 循环分解唯一性定理的机器证明 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 研究总结 |
| 5.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（7）爱米·诺特对交换环论的贡献（论文提纲范文）
| 1 有史以来最杰出的女数学家爱米·诺特 |
| 2 交换环论正式诞生的前奏 |
| 3 交换环论的正式诞生———诺特的标志性贡献 |
| 3.1“环中的理想论” |
| 3.2“代数数域和代数函数域上理想论的抽象结果” |
| 4 爱米·诺特的影响 |
（9）不可约多项式的一个应用（论文提纲范文）
| 0 前言 |
| 1 不可约多项式的一个应用 |
（10）高斯环■上一类不可约元的判定方法（论文提纲范文）
| 0 引言 |
| 1 高斯环的定义及其几个有用性质 |
| 2 唯一分解高斯环的判定方法 |
| 3 利用二次剩余理论判定高斯环上素数为不可约元的判定方法 |
| 4 结束语 |
四、唯一因子分解整环（论文参考文献）
- [1]交换环论的早期历史研究[D]. 王淑红. 西北大学, 2015(01)
- [2]唯一因子分解整环[J]. 王仰賢. 数学通报, 1964(03)
- [3]Z[—m1/—m]为唯一因子分解整环的刻画[J]. 向大晶,刘先平,覃海艳. 大学数学, 2011(06)
- [4]交换环论起源中的三类问题[J]. 王淑红. 咸阳师范学院学报, 2015(04)
- [5]环论若干研究方向概述[J]. 汪明义. 绵阳师范高等专科学校学报, 1999(02)
- [6]基于Coq的“模”观点下线性代数机器证明系统 ——特例：模分解定理的机器证明[D]. 范一凡. 北京邮电大学, 2020(05)
- [7]爱米·诺特对交换环论的贡献[J]. 王淑红,邓明立. 自然科学史研究, 2016(04)
- [8]整环Z［］中的因子分解[J]. 周其生. 安庆师范学院学报(自然科学版), 1995(01)
- [9]不可约多项式的一个应用[J]. 刘合国,廖军. 湖北大学学报(自然科学版), 2021(01)
- [10]高斯环■上一类不可约元的判定方法[J]. 邓从政. 凯里学院学报, 2019(06)