一、平面上Volterra型随机微分方程的弱解（论文文献综述）
王毓[1]（2021）在《随机Cahn-Hilliard-Cook方程的C0弱Galerkin有限元方法》文中研究指明在本文中,我们使用C0弱Galekin有限元方法研究了一类随机Cahn-Hilliard-Cook方程的数值计算.由于随机微分方程的解过程具有较低的正则性,导致数值解的收敛性和误差分析非常困难.早在上个世纪九十年代,人们就开始了针对随机Cahn-Hilliard方程理论和数值计算方法的研究.Da Prato等学者研究了由加性白噪音驱动的随机Cahn-Hilliard方程解的存在唯一性.后来,这一结果被Cardon推广到由非线性高斯噪音驱动的Cahn-Hilliard方程中.Stig Larsson等人使用经典有限元方法研究了线性随机Cahn-Hilliard-Cook方程的数值逼近,并给出了收敛性分析结果.众所周知,关于空间变量是四阶导数的方程,其协调有限元空间应为C1元,如Argris元中多项式的次数最少为5次,在二维情形下有21个自由度.对比现有的研究结果,连续的弱有限元方法的优势在于避免构造复杂的C1元有限元空间,进而大大减少了在空间离散化时基底的自由度.在本论文中,我们用弱Laplacian算子逼近经典的Laplacian算子,利用C0弱Galerkin有限元方法离散随机Cahn-Hilliard-Cook方程的空间变量,并分析其最优阶误差估计.同时,关于时间变量使用经典的向后欧拉格式进行数值离散.在本文的最后,通过数值算例,验证C0弱Glaerkin有限元方法求解线性随机Cahn-Hilliard-Cook方程的有效性和一致性.
汤洁[2]（2019）在《Lévy噪声驱使的随机微分方程解的适定性研究》文中提出在科学技术不断发展与创新的现代,要求对实际问题的描述越来越精确.由于现实生活中的系统经常会受到一些客观存在的随机因素的影响,为了对实际问题的描述更准确,多用带噪声项的随机微分方程研究实际问题,尤其是Lévy噪声驱使的随机微分方程.因此Lévy噪声驱使的随机微分方程解的适定性研究是十分有必要的.本文致力于不同约束条件下Lévy噪声驱使的随机微分方程解的适定性研究,具体内容如下:第一章简要介绍了本文的研究背景及意义,国内外研究现状,并给出相关的预备知识.第二章研究了一类Lévy噪声驱使的二阶随机微分方程解的适定性问题.首先利用能量估计与收敛准则讨论了Lévy噪声驱使的二阶线性随机微分方程解的适定性问题.然后在此基础上,利用迭代法研究了具有Lévy噪声的二阶非线性随机微分方程解的存在性和唯一性问题.第三章研究了非利普西茨条件下Lévy噪声驱使的二维随机Navier-Stokes方程能量解的适定性问题.运用Galerkin方法,首先得到简单形式的随机Navier-Stokes方程能量弱解的存在性和唯一性.然后在此基础上,利用迭代法、收敛准则以及数学归纳法证明了非利普西茨条件下Lévy噪声驱使的二维随机Navier-Stokes方程能量弱解的存在性和唯一性.
张林[3]（2018）在《高速湍流燃烧LES-TPDF方法及其应用研究》文中研究指明本文以高速特别是超声速湍流燃烧条件下的拉格朗日粒子PDF方法为研究对象,采用理论分析、数学建模、数值试验和算例验证作为主要研究手段,探讨拉格朗日粒子PDF方法与有限差分LES相结合并应用于高速反应流时一系列基本问题,诸如基本假设、数学模型、数值实现、计算精度等,从而形成一套完整的方法及其鲁棒的数值实现。系统推导并分析了高速流粒子PDF方法在与LES耦合中存在的问题:结合粒子系统的相关概念,进一步证明了粒子速度插值的保散度特性对于LES-PDF方法的标量一致性尤为重要;提出了改善LES-PDF耦合一致性的几点基本原则;进一步阐明了高速源项条件滤波的建模和数值计算直接影响LES-PDF的能量一致性;对高速源项条件滤波进行了数学分析,并结合上述基本原则,提出了高速源项条件滤波的新模型,即采用蒙特卡洛粒子质量密度来模化PDF条件滤波密度;结合算例对新模型进行了验证,结果表明,新模型相比原模型不仅可以明显改善LES-PDF能量一致性,还能使得粒子速度修正更加有效。数值测试表明上文方法在复杂的超声速流中效果欠佳,特别是激波间断附近PDF的能量误差明显增加,同时揭示了该误差源于高速源项的可解部分的数值计算;参考双曲系统守恒律,给出了“守恒型”表达式的定义,分析认为能量误差主要源于高速源项表现为非守恒型,与基于双曲守恒律建立的有限差分格式无法相容;结合上述分析,建立了适用于高速流的PDF方法中能量变量的选择依据,提出了采用非化学总焓作为PDF的能量变量,此时高速源项为严格的守恒型;建立了非化学总焓-组分PDF输运方程和相应的拉格朗日粒子求解模型;结合数值算例对该方法进行了测试,结果显示新方法可以进一步改善LES-PDF在超声速流中的能量一致性;此外,采用非化学总焓作为PDF能量变量时,其相应的条件亚格子高速源项也远小于采用显焓作为PDF能量变量时的相应项,从而改善亚格子内的能量精度。进一步建立了更加全面的标量-压力PDF方法:建立了基于热完全气体假设的标量-压力PDF输运方程及其相应的求解模型;进行了相关数值测试,发现了该方法所得的PDF压力在接触间断附近存在很强的数值振荡;研究发现该振荡的原因在于参考的压力输运方程为非守恒形式,同样与有限差分求解器不相容;基于以上分析建立了标量-脉动压力PDF方法,采用LES求解平均/滤波压力,而PDF求解脉动压力,并建立了相应的粒子求解模型;结合数值算例对建立的标量-脉动压力PDF方法进行了验证。深入分析了LES-PDF方法中的密度一致性问题,其关键在于粒子速度插值方法和速度修正格式;分析提出了超声速流中的粒子速度插值格式应该兼具保散度和迎风性的特点;提出了一种改善的速度修正方法,该方法没有需要进行先验测试和调整的模型常数;提出了若干光滑算子以改善速度修正格式,最终优化的速度修正格式在具备广泛通用性的同时仍可以取得良好的效果。详细探讨了本文建立的PDF方法在带反应的氢气/空气超声速时间混合层中的应用。分别采用DNS、基于有限反应速率的LES和LES-PDF模拟了氢气/空气反应流,分析了燃烧流场结构,通过统计参数的对比,展现了本文建立的LES-PDF方法用于超声速湍流燃烧时的优势。
王月兴[4]（2018）在《电迁移作用下微电子封装互连结构损伤失效机理研究》文中认为电迁移是高电流条件下,由于电子流不断与金属原子碰撞并动量交换,进而驱使金属原子沿着电子流方向扩散迁移的现象。电迁移主要发生在微电子封装互连结构内,导致在互连阴极处物质减少而形成空洞,空洞发展为裂纹造成短路破坏,降低整个电子器件的可靠性。随着电子产品不断向着小型化、多功能化、高功率化的趋势发展导致微电子封装互连结构的电流密度持续提高进而达到诱发电迁移的阙值,微电子封装互连结构内电迁移诱发的损伤失效现象已越发突出。电迁移问题已经成为下一代微电子封装互连结构在高电流条件下可靠性的主要问题。本文中针对电迁移诱发的损伤失效进行了力学建模研究,为下一代微电子封装互连结构高电流下的可靠性分析建立理论基础。首先针对微电子封装互连焊点电流集中区域的裂纹化空洞——薄饼型食指状空洞进行研究,根据质量扩散理论建立了包含速度参数和形状参数的食指状空洞在电迁移作用下拓展的二阶非齐次常微分方程,得到了空洞速度与空洞形状的定量关系并解析求解了电迁移作用下的空洞拓展速度。研究表明空洞速度对空洞宽度的敏感性很高,食指状空洞宽度越小空洞拓展越快。计算得到的理论空洞拓展速度较好的吻合焊点电迁移试验中测得的薄饼型食指状空洞拓展速度。在薄饼型食指状空洞研究的基础上,进一步对一般形式下电迁移诱导的空洞形貌演化问题进行分析。利用柯西积分以及共形映射方法求解了以圆形、椭圆形、心形三种基本形状为代表的空洞存在下平面内的电场分布。基于扩散质量守恒得到空洞形状演化的法向速度。基于三种空洞的形状演化趋势,明确了初始空洞的稳态迁移,裂纹化空洞的拓展以及空洞凹陷的机理。研究表明,在半径比较小时初始圆形空洞稳态迁移,当其半径达到一定程度并受到外界干扰后,空洞会向着裂纹或者凹陷两种情况发展且表面张力并不会驱使空洞形状恢复。进一步在单空洞研究的基础上,进行了电迁移诱导下的多空洞形貌演化分析。根据反平面剪切的类比,求解了包含两个圆形空洞在内的平面内电场分布,根据两种基本双圆形空洞模型,进行了电迁移诱导下的多空洞形貌演化趋势的分析,阐明了多空洞形状失稳,融合和分裂的机理。在多空洞分析基础上,明确了空洞裂纹化以及空洞凹陷化产生的物理原因。利用概率统计的相关理论,进一步建立了电迁移作用下焊点内棉絮型群空洞的体积增长的统计物理模型,推导得到焊点内群空洞体积随时间增长的公式,明确了电迁移作用下群空洞体积增长的机理。在对电迁移诱导的损伤演化的基础上,进一步研究了微电子封装互连结构中电迁移破坏的平均失效时间的预测问题。在半经验的平均失效时间公式——Black公式基础上,本文中分别考虑具体的物理机制,分别是:空洞萌生机制,空洞增长机制和焦耳热效应。基于扩散诱导应力求解了空洞萌生问题,利用晶界扩散方法计算了空洞增长的时间,建立热电耦合模型进行了温度集中现象的仿真,利用扩散系数阿伦尼乌斯公式引入焦耳热效应。明确了电迁移寿命预测公式中的电流密度指数的变化机理,解决了工程领域电流密度指数随机变化的悖论,得到了新的具有具体物理意义的电迁移平均失效时间预测公式。随着多物理场力学模型复杂度的不断提高,数值算法越发必要。在多物理问题以及细微观力学研究的基础上,改进传统的多尺度有限元方法,利用等效夹杂理论建立了有限元中数值解与误差的联系,推导多尺度有限元弱形式方程。基于Zienkiewicz—Zhu估计和有限区域内多边形夹杂的Eshelby张量,建立新的细观多尺度有限元方法。分别考虑三角形单元以及四边形单元的情况,并与传统有限元方法和原始细观多尺度方法进行对比。结果表明改进的细观多尺度有限元方法与两种传统方法相比,在不改变刚度矩阵规模的基础上具有更高的精度,更快的收敛速度。改进的细观尺度有限元方法具有自适应及自调整的智能特性,且考虑了单元形状的影响,数值解对网格形状的依赖性低。在未来多物理场条件下的微观损伤的数值模拟中具有较大潜力。
刘星辰[5]（2018）在《二维随机人工可压缩Navier-Stokes方程解的稳定性研究》文中认为随机微分方程的稳定性理论,是在确定性微分方程稳定性理论与随机过程理论的基础上发展而来的.与此同时,随机扰动下的无穷维动力系统近年来越来越多的被研究,其在力学、化学、生物学、地球物理学、大气海洋气候学等中得到了广泛的应用.近年来,确定性的Navier-Stokes方程的研究引起了广大学者的关注;另一方面,由于地震、水灾、迁移及瞬时瘟疫等不可抗拒自然灾害的发生,目前随机扰动下的Navier-Stokes的研究也引起了人们更广泛的兴趣.本文的研究内容有以下几个方面.首先,简要介绍了随机微分方程理论和相关知识及随机扰动下的Navivr-Stokes方程的背景和研究现状.其次,给出了随机扰动下的Navier-Stokes方程广义解的定义,利用连续鞅的性质,通过It?公式,Gronwall引理,利用Burkholder-Davis-Gundy不等式,针对压力项的处理,讨论了随机Navier-Stokes方程解的指数稳定性,得到了指数稳定性的充分条件.第三,利用广义的Gronwall扩展引理,对1)（）和2)（,）两项进行综合处理,讨论了随机Navier-Stokes方程解的指数稳定性,并得到了指数稳定性充分条件.
朱晓钢[6]（2018）在《分数阶对流扩散方程的几种数值方法研究》文中指出近年来,随着分数阶微积分在数学建模中的大量应用,分数阶偏微分方程越来越受到学术界的关注,并已经开始在电磁学、多孔介质力学、经济金融、环境科学、控制理论和高分子材料等诸多科学领域的研究中扮演重要角色。作为一类新兴的数学模型,此类方程能够为带记忆功能、自相似性质和遗传特征的复杂动力学行为提供更为深刻和准确的物理阐述,故具备传统偏微分方程不可比拟的优越性。由于解析技术的局限性,开展有关的数值方法研究具有重要的理论意义和实际应用价值。本文研究时间和空间分数阶对流扩散方程的数值解法,涉及有限差分和配置法、运算矩阵法和微分求积法,主要内容包括以下四个部分:首先,讨论常系数时间分数阶扩散方程的一种高精度数值方法。采用一类高阶差分格式离散Caputo分数阶导数,在空间上应用指数样条插值并给予拟一致配点,构造一种有限差分-指数B-样条配置法。分析一阶数值格式的唯一可解性和无条件稳定性,其中,稳定性通过分数阶von Neumann分析法证明。数值结果验证了理论分析结果。其次,研究变系数时间分数阶对流扩散方程的运算矩阵法。采用Chebyshev cardinal函数作为基函数,推导Riemann-Liouville分数阶积分的一个运算矩阵,给出两种计算矩阵元素的方案,并分析它们的优缺点。进一步地,求得一、二阶空间导数的矩阵近似,利用分数阶微积分的性质将控制方程转化成含分数阶积分的等价形式,以此提出一种高效Chebyshev cardinal运算矩阵法。数值结果及与现有算法的比较表明该方法具备较高的计算精度,并且适用于长时间历程分数阶问题的数值模拟。再次,建立一、二维变系数空间分数阶对流扩散方程的样条微分求积法。试函数选为三次B-样条,介绍Riemann-Liouville分数阶导数的微分求积公式,给出确定加权系数的方法。同时,为了快速计算分数阶导数在各个离散节点上的函数值,对分数阶导数的积分部分应用分部积分公式并反复进行递归,推出三次B-样条的Riemann-Liouville分数阶导数的显式表达式。导出的常微分方程组采用加权平均差分格式离散。该方法继承了传统微分求积法计算量小、精度高和易于编程的特点,在相同的离散参数和误差量级下,样条微分求积法的CPU时耗远低于有限元法。最后,研究不规则区域上带分数阶方向导数的二维变系数空间分数阶扩散方程的径向基微分求积法。对全域离散节点上的函数值进行加权线性组合,引入Caputo分数阶方向导数的微分求积公式。试函数分别选为Multiquadric、Inverse Multiquadric和Gaussian径向基函数,给出三种确定加权系数的方法。以之为基础,发展一种适用于任意区域上的空间分数阶扩散方程的Crank-Nicolson径向基微分求积法,并给出算法流程。数值算例包含有矩形、梯形、圆形和L-型区域问题,数值结果说明了方法的灵活性和对不规则区域问题的适应性。由于对维数变化不敏感,所提方法可以进一步推广至三维任意区域空间分数阶问题,并且不会引起计算量的大幅度增加。
苏中根[7]（2016）在《Tracy-Widom分布及其应用》文中研究说明Tracy和Widom 1990年代在研究高维随机矩阵特征根时发现一种新型分布,文献中普遍称为Tracy-Widom分布,它用于描述极值特征根的渐近性质.随后二十多年的研究表明,TracyWidom分布如同经典的正态分布那样具有普适性,适用于各种极值型随机现象.作为例子,本文简要描述了九种常见的随机模型,它们都以某种方式与Rracy-Widom分布有关.与正态分布相比较,TracyWidom分布的密度函数、分布函数、数字特征都显得非常复杂,为了进一步推广和应用,需要相当好的数学基础和计算能力.但是,由于该分布的重要性,无论如何值得更多的关注.
王海洋[8]（2016）在《时间不相容的随机控制问题和弱形式的正倒向随机微分方程》文中研究表明在本篇论文中,我们主要研究了两类不满足Bellman’s最优性原理的时间不相容随机控制问题：一个是随机系数的时间不相容最优控制问题,另一个是部分观测的时间不相容递归最优控制问题。另外,我们还研究了一类受障碍约束的递归最优控制问题,它的代价泛函由反射倒向随机微分方程（BSDE）的解给出。我们建立了该问题的近似最大值原理及其最优解和近似最优解的充分条件。进而,通过考察与随机最优控制理论的紧密联系以及其它的实际应用,我们引入了一类新型的正倒向随机微分方程（FBSDEs）,称为弱形式的FBSDEs。我们还进一步讨论了这类方程解的适定性。下面我们给出本文的主要内容和结构框架。在第一章中,我们简明扼要地介绍了本文所研究问题的历史背景,研究动机以及理论工具。在第二章中,我们研究了一类随机系数的时间不相容最优控制问题。通过构造多人微分对策问题的方法,我们得到了一族刻画平衡值函数的倒向随机发展方程,称为随机平衡Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。在适当的条件下,该方程存在唯一解,从而可以给出闭环形式的时间相容平衡控制。另外,我们还相应讨论了特殊并且重要的线性二次时间不相容控制问题。在第三章中,我们研究了一类部分观测的时间不相容递归最优控制问题。我们首先研究了相应的完全观测的时间不相容递归最优控制问题,得到平衡控制的验证定理和该问题的Hamiltonian系统,并且还进一步建立了该Hamiltonian系统的Kalman-Bucy滤波公式。从而由倒向分离原理,我们可以给出部分观测的时间不相容递归最优控制问题的平衡控制,它是状态滤波估计的反馈调节。另外,作为理论的应用,我们还研究了一个制订最优保险费用的问题,给出平衡保费的显式表示。在第四章中,我们研究了一类受障碍约束的递归最优控制问题,其值函数由反射BSDEs的解给出。通过一族带惩罚的BSDEs逼近一个反射BSDE的方法,我们建立了该问题的近似最大值原理。另外,我们还分别得到了该问题最优解以及近似最优解的充分条件。最后,我们用一个混合最优控制问题的例子说明所得理论的实际应用,并给出最优控制和最优停时。在第五章中,我们引入了一类新型的弱形式的正倒向随机微分方程。通过考察在期权对冲理论,非线性Feynman-Kac公式以及最大值原理和动态规划原理的关系问题中的应用,我们可以看到此类FBSDEs是自然合理的。特别地,我们用两个例子说明这类新型的弱形式的FBSDEs联系着弱框架的随机最优控制问题,它们在相对强框架问题更一般的条件下存在最优解。另外,我们还讨论了这类弱形式的FBSDEs解的适定性。接下来,我们给出本篇论文的主要结论。1.随机系数的时间不相容最优控制问题及随机平衡HJB方程。对给定的完备概率空间（Ω,F：P）和其中相互独立的1-维和d-维布朗运动{Wt,t≥0},{Wt1,t≥0},考虑如下的控制系统：以及代价泛函：其中b（x,v,s）:Rn×Rk×[0,T]→Rn,σ（x,s）:Rn×[0,T]→Rn,π（x,s）:Rn×[0,T]→ Rn×d,L（x,v,s,t）:Rn×Rk×[0,T]×[0,T]→R均为确定性函数,且h（x,t,№） Rn×[0,T]×Ω→R是FTW-可测的随机变量。[t,T]时间段内的容许控制v是取值于U（?）Rk的FtW,w1-适应随机过程,且E[∫tT|vs|2ds]<+∞。我们称该随机系数的时间不相容控制问题为问题（N）。通过（2.7）定义的关键性映射ψ,构造一列依赖于分划Ⅱ的多人微分对策问题并考察步长||Π||→0时的情形,我们建立了如下的随机平衡HJB方程,它是一族含参数的倒向随机发展方程：其中H=L2（Rn）,V={u∈L2（Rn）:Du∈L2（Rn）}且由压缩映射方法,我们可以得到：定理2.3.1.若假设2.3.1和2.3.2成立,则存在唯一的（（?）.（.;τ）,A.（.;τ））∈M2（τ,T;V）× M2（τ,T;H）,0≤τ≤T,满足随机平衡HJB方程（3）。从而我们可以给出定义2.2.1意义下问题（N）的时间相容平衡控制和平衡值函数：定理2.3.2.若假设2.3.1,2.3.2和2.3.3成立,则随机平衡HJB方程（3）的解（?）t（x；t）是初值为（x,t）∈Rn×[0,T]的问题（N）的平衡值函数,相应的时间相容平衡控制由（2.29）给出。另外,我们还研究了一类时间不相容的线性二次（LQ）控制问题,其动力系统为：且代价泛函为其中对任意的s∈[0,T],A（·）:C（·）,G（·）∈Rn×n,S（·）,F（·）,H（·）∈Rn×k,Q（·）是取值于Sn的FW-可测的非负有界随机变量；对任意的（s,t）∈D[0,T],R（·,·）∈Sn是非负的,N（·,·）∈Sk是正定的。当F三0时,我们充分利用其二次型结构,建立了该时间不相容LQ问题的Riccati-Volterra积分方程系统：关于（4）解的存在唯一性,我们有：命题2.4.1.若进一步假设则（4）存在唯一解。因此,对于该时间不相容的线性二次控制问题,我们有如下结论：定理2.4.1. 若命题2.4.1中的假设全部成立,则初始状态为（x,t）∈Rn×[0,T]的平衡值函数为其中K（·）满足（4）。时间相容平衡控制由（2.39）给出。2.部分观测的时间不相容递归最优控制问题及应用。对给定的完备概率空间（Q,F,P）,及其中的2-维标准布朗运动{（W1（t）,W2（t））,t≥ 0}和独立的Gaussian型随机变量ζ,我们首先考虑完全观测的时间不相容递归最优控制问题,其动力系统为：且代价泛函为其中A（·）,B（·）,C1（·）,C2（·）,a（·）,b（·）,c（·）,f1（·）,f2（·）均为取值于R的Ftζ,W1,W2-适应随机过程,且g,h,μ1,μ2均为常数。容许控制u（.）是取值于R的Ftζ,W1,W2-适应随机过程,且E[∫0T|u（t）|4dt]<+∞。我们记全体容许控制构成的集合为U。在（Q,F）空间中定义一个新的概率测度Q：由Girsanov’s定理,如下定义的过程{（U（t）,V（t））,t≥0):是2-维的Q-标准布朗运动。从而通过计算,代价泛函（6）可以改写为：-he∫tTb（τ）dτ（（EtQ[X（T）]）2-（μ1Xt+μ2）e∫tTb（τ）dτEtQ[X（T）],其中EtQ[·]=EQ[·|Ftζ,W1,W2]表示（Q,F,Q）空间中关于Ftζ,W1,W2的条件数学期望。根据最大值原理中的针状变分思想,我们得到了定义3.1.1意义下的该时间不相容控制问题的平衡解的充分条件：定理3.1.1.令假设3.1.1成立。若存在随机过程{（X*（s）,u*（s））,0≤s≤T}和一族随机过程{（p（s;t）,k1（s;t）,k2（s;t））,t≤s≤T},0≤t≤T,使得对任意的t∈[0,T）,满足下述Hgmiltonian系统以及Λ（·;t）=B（·）p（·;t）+2c（·）e∫tb（r）dru*（·）满足（3.8）,并且u*∈U,则u*是一个平衡控制。但是在很多实际问题中,我们不能直接观测到（8）中的（X*,p,k1,k2）,而是观测一个与X*（·）相关的过程Z（·）,其动力系统为：为了得到（X*,p,k1,k2）关于观测Z（·）的最优估计（X*,p,k1,k2）,我们解耦合Hamilto-nian系统（8）并通过经典的正向SDEs滤波理论可得：定理3.2.1.若假设3.1.1和3.2.1成立,则Hamiltonian系统（8）解的最优滤波估计{（X*（s）,p（s;t）,k1（s;t）,k2（s;t））,t≤s≤T},0≤t≤T由（3.21）,（3.22）,（3.24）以及（3.25）给出,其中M（·）,N（·）,r（·）和φ（·）分别为（3.16）,（3.17）,（3.18）和（3.19）的解。下面考虑相应的部分观测的时间不相容递归最优控制问题。由倒向分离原理,我们分离状态和观测方程如下：并定义容许控制u（·）为取值于R的FtZ和FtZ1-适应随机过程,且E[∫0T|u（t）|4dt]< +∞。结合前面的结论,我们可以得到该部分观测的时间不相容递归最优控制问题的平衡解：定理3.3.1.若假设3.1.1和3.2.1成立,则部分观测的时间不相容递归最优控制问题的平衡控制为（3.31）,其中M（·）,N（·）,r（·）和φ（·）分别为（3.16）,（3.17）,（3.18）,（3.19）的解,且X’（·）是相应于平衡控制（3.31）的状态滤波估计,由（3.33）给出。最后,作为理论结果的应用,我们研究了一个制订最优保险费用的实际问题。考虑一家保险公司,其现金流过程X（·）为：其中x0>0为初始资金,无风险利率δ（·）>0,责任率l（.）>0是单位时间的预期责任,保费率v（·）是控制变量,波动率σ（·）>0表示责任风险。这家公司希望制订最优保费率v（·）最小化代价泛函：其中,常数β是折现因子,常数co是某个预定的目标,常数G,Q以及随机过程R（·）是为了使代价泛函（13）一般化的权重因子。但是决策者通常不能直接观测到现金流X（·）,而可以观测到公司的股票价格S（·）,它与X（·）的关系如下：其中,常数a,c为相关系数,随机过程ρ（·）为波动率。通过变量代换及计算,该控制问题可以转化为前面研究的部分观测的时间不相容递归最优控制问题。从而我们可以得到平衡保费策略：定理3.4.1.若假设3.4.1和3.4.2成立,则可观测的平衡保费策略为其中J1（·）和φ1（·）分别由（3.58）和（3.59）给出,且X*（.）是相应于平衡保费策略的现金流滤波估计,满足（3.52）。3.一类受障碍约束的递归最优控制问题的随机最大值原理。对给定的完备概率空间（Q,F,P）,和其中的d-维标准布朗运动{Wt,t≥0},考虑如下的正向控制系统：和一个受控的反射BSDE:以及代价泛函其中α∈Rd是一个给定的常数,且b（t,x,v）:[0,T]×Rd×Rl→Rd,σ（t,x）:[0,T]×Rd→ Rd×d,f（t,x,y,v）:[0,T]×Rd×Rm×Rl→Rm,h（t,x）:[0,T]×Rd→Rm,g（x）:Rd→ Rm,γ（y）:Rm→R均为确定性函数。容许控制v是取值于紧集U∈Rl的FtW-适应随机过程,且E[∫0T|vt|2dt]<+∞。记全体容许控制构成的集合为U。我们称这个受障碍约束的递归最优控制问题为问题（P）。假设u∈U是问题（P）的一个最优控制,且{xt,0≤t≤T},{（yt,zt,kt）,0≤t≤T}分别为相应的（16）和（17）的解。由于引入了一个连续的增过程{kt},我们不能直接利用针状变分法得到问题（P）的最大值原理。首先,我们构造一族带惩罚的近似BSDEs逼近反射BSDE（17）:其中n=1,2,…。从而由Ekeland’s变分原理,（4.8）给出了一列容许控制{un}n≥1和递减趋于0的数列{ε。}n≥1,使得{un}n≥1是问题（P）的近似最优解,且对每个n∈N,un∈U以及相应的（16）和（19）的解{xtn,0≤t≤T},{（ytn,ztn）,0≤t≤T}是如下构造的辅助最优控制问题的最优解：问题（Pn） 对于正倒向随机控制系统（16）和（19）,寻找容许控制v∈Uf最小化代价泛函但是（19）的生成元仅为Lipschitz连续却不可导,因此我们不能直接使用针状变分法。对任意的n,k∈N,定义光滑函数：其中φ,ψ为两个光滑化函数。现在,我们引入生成元光滑的BSDEs：其中n,k=1,2,…。类似地,由Ekeland’s变分原理,对任意给定的n∈N,（4.20）给出了一列容许控制{un,k}k≥1和递减趋于0的数列{δn,k}k≥1,使得{un,k}k≥1是问题（Pn）的近似最优解,且对每个n,k∈N,un,k∈U以及相应的（16）和（22）的解{xnt,k,0≤t≤T},{（ytn,k,ztn,k）,0≤t≤T}是如下最优控制问题的最优解：问题（Pn,k） 对于正倒向随机控制系统（16）和（22）,寻找容许控制v∈u最小化代价泛函从而由标准的针状变分法,我们有：命题4.2.1.令假设4.1.1,4.1.2和4.1.3成立。则对任意给定的n∈N,存在容许控制un是问题（Pn）的最优解,和常数ε。>0,以及一族容许控制{un,k}k≥1是问题（Pn）的近似最优解,和递减趋于0的数列{δn,k}k≥1,使得对任意的k∈N,1)d（un,k,un）≤（?）;2)对任意的v∈U,其中xtn,k},{（ytn,k,ztn,k）}是相应于控制un,k的（16）和（22）的解,{Ptn,k},{Qtn,k}分别是（4.22）和（4.23）给出的伴随过程,且Hamiltonian函数Hn,k为结全Krylov’s不等式,我们考察当n∈N固定,k趋于∞时的情形,从而建立了问题（P）的近似最优控制的最大值原理：定理4.2.1.令假设4.1.1,4.1.2,4.1.3以及假设4.2.1,4.2.2成立,u∈U是问题（P）的一个最优控制。则存在一族容许控制{un}n≥1是问题（P）的近似最优解以及递减趋于0的数列{ε。}n≥1,使得对任意的n∈N,1)d（un,u）≤（?）；2)对任意的v∈U,其中{xnt},{（ynt,ztn）}是相应于控制un的（16）和（19）的解,{Ptn},{Qtn}分别是（4.33）和（4.34）给出的伴随过程,且Hamiltonian函数Hn为另外,利用Clarke’s广义导数,我们还可以得到问题（P）的最优解以及近似最优解的充分条件。定理4.3.1.若假设4.1.1,4.1.2,4.1.3以及假设4.3.1成立,u是一个容许控制,{xt,0≤ t≤T),{（yt,zt,kt）,0≤t≤T}分别为相应的（16）和（17）的解。记τ*=inf{0≤t≤ T:yt=h（t,xt）},h（t,x）=h（t,x）1{t<T)+g（x）1{t=T}且令伴随过程{Pt},{Qt}满足以及如果H（t,.,.,Pt,Qt,qt.）,h（t,.）和γ（·）均为凸函数,且对任意的t∈[0,τ*]和v∈U,则u是问题（P）的一个最优控制。定理4.3.2.若假设4.1.1,4.1.2,4.1.3以及假设4.3.2成立,对任意的n∈N,un是一个容许控制,{xtn,0≤t≤T},{（ytn,ztn）,0≤t≤T}分别是相应的（16）和（19）的解。记令伴随过程{Ptn},{Qtn}满足以及如果Hn（t,·,·,Ptn,Qtn,qtn,·）,γ（·）和g（·）均为凸函数,且对任意的t∈[0,T]和v∈U,则un是问题（P）的εn-近似最优控制,其中当n→∞时,{εn}n≥1递减趋于0。4.一类弱形式的正倒向随机微分方程。我们引入一类弱形式的正倒向随机微分方程：我们从理论结果以及实际应用的角度,给出了几个具体的例子,如例5.1.2,5.2.1和5.2.2说明此类弱形式的FBSDEs的研究动机,特别是它与随机最优控制理论的联系,并且（32）联系着一类拟线性抛物型PDE：定义弱形式的FBSDE（32）的解为：定义5.1.1.我们称（i）带域流的概率空间（Ω,F{Ft）0≤t≤T,P)和Ft-适应随机过程{（Wt,Xt,Yt,Zt,Nt）,0≤t≤T}为弱形式的FBSDE（32）的弱解,如果它们满足（32）,P-a.s.,W是P-标准布朗运动,N是与X正交的P-鞅,且No=0；（ii）一个弱解为半强解,如果（Y,Z）是FtX-适应的；（iii）一个弱解为强解,如果N=0,且（X,Y,Z）是FtW-适应的。利用相关的PDE（33）,我们可以得到弱形式的FBSDE （32）解的适定性：定理5.3.1.令假设5.3.1成立。若PDE（33）存在经典解u∈C1,2,且（?）xu和（?）2xxu均一致有界,则FBSDE （32）存在强解。如果又有假设5.3.2和5.3.3成立,则强解唯一。定理5.3.2.令假设5.3.1,5.3.2和5.3.3成立。若PDE（33）存在粘性解u∈C0,0且b,σ不含z,则FBSDE （32）存在半强解。如果u∈C0,1,则当b,σ含有z时,（32）仍存在半强解。
陈冲[9]（2016）在《奇异积分与奇异积分方程的高精度算法》文中进行了进一步梳理奇异积分与奇异积分方程广泛地出现于数学物理、流体力学、断裂力学、电磁力学、化学、生物工程和石油工程等诸多学科和工程的数学模型中.由于这些数学模型大多是由实际问题转化而来的,要想达到对实际问题估算的目的,计算奇异积分以及求解奇异积分方程就成为研究数学模型的重要内容.本文主要介绍奇异积分以及奇异积分方程的数值算法.本文主要研究了以下几个方面的内容:1.简要介绍了边界元方法及其优点、奇异积分与奇异积分方程的研究背景和意义以及含Volterra型算子的积分方程的研究背景和意义三方面的内容.2.研究了计算超奇异积分的数值方法.在积分算子的奇异点为被积区间内任意一点的情况下,推导了该类超奇异积分的误差渐近展式（Euler-Maclaurin展式）以及求积公式.根据该误差渐近展式以及求积公式的特点,推导了相应求积公式的外推公式,并给出了相应公式的误差估计式.3.研究了混合奇异积分的数值算法.该类混合奇异积分是指包含超奇异性和对数奇异性两种奇异类型的积分.依据超奇异积分的Euler-Maclaurin展式关于参数的解析性质,推得该类混合奇异积分的Euler-Maclaurin展式,还得到了对数奇异积分的误差渐近展式.4.提出了平面定常Stokes方程的数值解方法.通过应用单层位势理论和Stokes方程基本解的方法,将平面定常Stokes方程转化为第一类的边界积分方程.该类积分方程是具有对数奇异性的奇异积分方程,该类积分方程求解的数值方法分以下两种情况讨论:一种情况是积分边界为光滑闭曲线Γ时,给出了奇异积分方程的机械求积法、误差渐近展式以及机械求积法的Richardson外推公式,并由误差渐近展式得到机械求积法的误差估计式.另一种情况是积分边界为分片光滑闭曲线Γ=∪m=1dΓm（即曲线所围区域是多角域）时,给出了奇异积分方程的机械求积方法、多变量近似误差展式以及分裂外推公式,同时还由多变量近似误差展式得到了机械求积法的后验误差估计.机械求积法（MQM）的收敛性由Anselone的聚紧收敛理论及渐近紧理论给予了证明.5.介绍了第二类非线性的Volterra弱奇异积分方程的数值解方法.当第二类非线性的Volterra奇异积分方程满足Lipshitz条件时,应用Gronwall不等式和Laplace变换及其反演变换方法,证明了该类奇异积分方程解的存在唯一性.还给出了求解该类奇异积分方程的数值方法（修正的梯形求积法）以及其外推方法,同时还给出相应公式的误差估计式.
吴娥子[10]（2015）在《反应扩散方程组的渐近行为及其随机扰动》文中进行了进一步梳理反应扩散模型已经普遍应用在化学反应,细胞演化过程,药物释放,生态发展,疾病传播,污染物质在环境中的传输等众多领域,不仅为这些领域的科学发展提供了强有力的数学工具,而且推动了偏微分方程理论本身的巨大进步.本博士学位论文以具有实际背景的反应扩散方程组为基本研究对象,从多个方面来刻画反应扩散方程组的渐近性质及其随机扰动特性.论文主要包括以下几个方面的工作.在第一章中,我们简要介绍了反应扩散方程组的实际背景,数学模型和研究现状.在第二章中,我们讨论一类竞争扩散方程组连接一个非共存状态和共存状态之间的单调行波解的稳定性.分别基于弱竞争条件和强竞争条件下反应扩散方程组常数定常解的局部线性稳定性特性,我们改变文献中使用二阶线性方程组的格林函数来描述线性化算子的办法,直接利用具有四个变量的一阶线性方程组建立一种新的方法来构造线性化算子的预解算子的渐近表示,然后利用解的对应导数分量的渐近表示来刻画线性化算子在加权函数空间Bω,k（R,R2）中的谱分布,最后得到反应扩散方程组单调行波解的稳定性.在第三章中,我们考虑一类具有Holling-Tanner型反应函数的交叉扩散捕食-食饵方程组.将现有文献中部分交叉扩散系数情形d3=0,d4>0推广到完全交叉扩散情形d3>0, d4>0.利用极大值原理,先验估计和拓扑度理论等经典方法,在齐次Neumann边界条件下,我们给出了对应定常交叉扩散捕食-食饵方程组的常数和非常数正解存在的充分条件.在第四章中,我们讨论了一类分数阶反应扩散方程组正温和解的爆破性.分数阶拉普拉斯算子所具有的非局部特征使得分数反应扩散方程已经大量应用于分子生物学,流体动力学,统计物理,经济金融等领域.不同于Perez和Villa等人的方法,我们的重点在于发掘定义于全空间RN上的分数阶热算子（?）t+（-△）β/2基本解的性质,充分利用H.Yosida所建立的基本解的分析性质和L. Caffarelli及A. Figalli给出的基本解的相关估计,我们首先建立初值问题正温和解的下界估计,然后证明解在大时间时的无界性,最后得到正温和解在有限时刻爆破的充分条件.在第五章中,我们研究了反应扩散波的零均值白噪声扰动行为.对经典Nagumo方程连接两个稳定定常状态的波前解,利用定义于整个实数轴上的热核,我们分析了在两个渐近边界处零均值白噪声的随机扰动行为.由于零均值白噪声的扰动,当t→+∞时,Nagumo方程ut=uxx+u（u-a）（1-u）的波前解在上稳定定常状态处扰动均值是减少的,而在下稳定定常状态处扰动均值是增加的.在第六章中,我们研究了反应扩散波的非零均值白噪声扰动行为.首先,我们利用热核给出Nagumo方程波前解在两个渐近边界处非零均值白噪声的随机扰动行为.其次,对具有双参变量非零均值白噪声α+βWxt。随机扰动下的波前解的随机性质给出了描述.最后,我们揭示当t→+∞时,零均值白噪声Wxt。和非零均值白噪声α+βWxt对标量Nagumo方程连接两个稳定定常状态的波前解在上（下）稳定状态处的扰动影响是不同的.
二、平面上Volterra型随机微分方程的弱解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、平面上Volterra型随机微分方程的弱解（论文提纲范文）
（1）随机Cahn-Hilliard-Cook方程的C0弱Galerkin有限元方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 半群理论 |
| 2.2 Wiener过程 |
| 2.3 随机常微分方程 |
| 2.4 随机偏微分方程 |
| 2.5 弱Galerkin有限元方法 |
| 2.6 弱Laplacian算子的定义 |
| 第三章 弱有限元半离散格式 |
| 第四章 确定性方程离散格式及误差分析 |
| 第五章 随机Cahn-Hilliard-Cook方程弱有限元逼近的误差估计 |
| 5.1 温和解的正则性 |
| 5.2 误差分析 |
| 5.3 全离散格式 |
| 第六章 数值实验 |
| 6.1 矩形区域上的数值实验 |
| 6.2 圆形区域上的数值实验 |
| 第七章 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（2）Lévy噪声驱使的随机微分方程解的适定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究意义 |
| 1.2 课题的研究现状 |
| 1.3 基础知识 |
| 第二章 一类Lévy噪声驱使的二阶随机微分方程解的适定性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 带噪声的线性方程 |
| 2.3 带噪声的非线性方程 |
| 第三章 非利普西茨条件下Lévy噪声驱使的随机Navier-Stokes方程解的适定性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 相关知识 |
| 3.3 能量解的存在性 |
| 3.4 引理的证明 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士期间所发表的论文 |
| 后记 |
（3）高速湍流燃烧LES-TPDF方法及其应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 高速湍流燃烧的特点与数值模拟的挑战 |
| 1.3 主流湍流燃烧模型及存在问题 |
| 1.3.1 主流燃烧模型及分类 |
| 1.3.2 各类湍流燃烧模型用于高速反应流时存在的问题 |
| 1.4 PDF方法及研究进展 |
| 1.4.1 PDF方法的基本思路及优势 |
| 1.4.2 PDF方法的研究现状及存在问题 |
| 1.4.3 当前高速湍流燃烧PDF方法存在的问题 |
| 1.5 论文主要研究内容 |
| 第二章 LES-PDF方法理论基础 |
| 2.1 多组分理想气体基本假设和控制方程 |
| 2.1.1 多组分理想气体基本方程 |
| 2.1.2 N-S方程及基本假设 |
| 2.1.3 N-S方程的无量纲化及曲线坐标形式 |
| 2.2 LES控制方程 |
| 2.3 PDF理论基础 |
| 2.3.1 随机变量假设 |
| 2.3.2 PDF理论基础 |
| 2.4 精确的SPDF输运方程 |
| 2.4.1 显焓作为PDF能量变量 |
| 2.4.2 标量FMDF(SFMDF)输运方程的推导 |
| 2.5 小结 |
| 第三章 LES-PDF建模及数值求解方法 |
| 3.1 LES方程的模化及数值求解 |
| 3.1.1 LES滤波方程中未封闭项的模化 |
| 3.1.2 时间离散方法 |
| 3.1.3 对流通量的特征分解及高精度格式 |
| 3.1.4 粘性通量导数离散方法 |
| 3.1.5 边界条件及数值处理 |
| 3.2 SFMDF输运方程的模化 |
| 3.2.1 基本项的模化 |
| 3.2.2 小尺度混合模型及分子扩散项的模化 |
| 3.3 PDF输运方程的数值求解 |
| 3.3.1 粒子系统与随机描述 |
| 3.3.2 时间格式及算子分裂 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 LES-PDF方法能量一致性研究 |
| 4.1 LES-PDF方法中的一致性问题 |
| 4.1.1 一致性问题的产生及现状 |
| 4.1.2 LES-PDF一致性的几点原则 |
| 4.2 LES-PDF标量一致性研究 |
| 4.2.1 粒子系统定义及输运方程 |
| 4.2.2 粒子系统与流体的等效描述 |
| 4.3 高速源项分析与建模 |
| 4.3.1 已有的高速源项条件滤波模型 |
| 4.3.2 高速源项条件滤波分析 |
| 4.4 高速源项中PDF条件滤波密度的近似方式 |
| 4.5 保持能量一致性的LES-PDF方法的初步应用 |
| 4.5.1 Sod激波管问题 |
| 4.5.2 可压缩时间发展混合层 |
| 4.6 小结 |
| 第五章 LES-PDF方法中高速源项的守恒性研究 |
| 5.1 高速源项守恒性分析和非化学总焓-组分PDF输运方程 |
| 5.1.1 PDF方法的高速源项守恒性分析 |
| 5.1.2 精确的非化学总焓-组分PDF输运方程推导 |
| 5.2 非化学总焓-组分PDF方法的高速源项守恒性及优势 |
| 5.3 一种改善的可压缩粒子速度修正方法 |
| 5.3.1 粒子速度修正方法理论基础 |
| 5.3.2 改善的可压缩粒子速度修正格式 |
| 5.4 非化学总焓-组分PDF方法在超声速流中的应用 |
| 5.4.1 3DSod激波管问题 |
| 5.4.2 超声速时间混合层 |
| 5.5 小结 |
| 第六章 高速湍流燃烧标量-压力PDF方法 |
| 6.1 标量-压力FMDF输运方程 |
| 6.1.1 FMDF输运方程验证 |
| 6.2 标量-压力FMDF模化及求解 |
| 6.2.1 FMDF输运方程的模化 |
| 6.2.2 标量-压力随机微分方程(SDE) |
| 6.3 超声速流中数值振荡的探索与分析 |
| 6.3.1 Sod激波管问题中的压力振荡现象 |
| 6.3.2 不同源项建模方式及数值方法的影响 |
| 6.3.3 密度PDF方法及LES冗余求解 |
| 6.3.4 非守恒型双曲方程的数值方法 |
| 6.4 标量-脉动压力FMDF方法 |
| 6.5 标量-脉动压力FMDF方法在可压缩惰性流中的应用 |
| 6.6 小结 |
| 第七章 LES-PDF方法在高速湍流燃烧中的应用 |
| 7.1 混合层研究进展简述 |
| 7.1.1 混合层中的可压缩效应 |
| 7.1.2 化学反应与燃烧释热 |
| 7.2 3D时间混合层的数值模拟 |
| 7.2.1 计算条件与参数设置 |
| 7.2.2 流场结构分析 |
| 7.2.3 不同模拟方法的统计结果对比 |
| 7.3 小结 |
| 第八章 结束语 |
| 取得的主要成果与结论 |
| 主要创新点 |
| 未来工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 作者在学期间取得的学术成果 |
| 附录A 粒子系统MDF标量方程(4.17)的推导 |
| 附录B 非化学总焓输运方程(5.4)的推导 |
| 附录C 氢气/空气反应机理 |
（4）电迁移作用下微电子封装互连结构损伤失效机理研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 微电子封装技术简介及小型化发展趋势 |
| 1.2 微电子封装互连小型化的挑战-电迁移问题 |
| 1.2.1 电迁移问题简介 |
| 1.2.2 电迁移的物理模型 |
| 1.2.3 质量扩散理论及菲克定律 |
| 1.2.4 扩散过程中的热力学与动力学 |
| 1.2.5 热迁移 |
| 1.2.6 应力迁移 |
| 1.2.7 化学迁移 |
| 1.3 国内外研究现状 |
| 1.3.1 电迁移诱导的损伤演化的试验观测研究 |
| 1.3.2 电迁移诱导的空洞形状演化研究 |
| 1.3.3 电迁移扩散诱导应力及损伤寿命预测研究 |
| 1.4 本文中主要研究内容与创新点 |
| 第二章 互连焊点电流集中区域电迁移诱导的薄饼型食指状空洞拓展的理论研究 |
| 2.1 电迁移作用下薄饼型食指状空洞拓展的物理模型建立及求解 |
| 2.2 焊点内电流集中区域裂纹尖端夹杂物对裂纹断裂强度因子的影响 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 电迁移作用下的空洞形貌演化分析—基于三种基本空洞形式 |
| 3.1 表面扩散机制作用下的空洞形貌演化模型 |
| 3.2 电迁移作用下圆形空洞的形貌演化分析 |
| 3.3 电迁移作用下椭圆形空洞的形貌演化分析 |
| 3.4 电迁移作用下心形空洞的形貌演化分析 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 电迁移作用下多空洞形貌演化分析及群空洞体积增长预测 |
| 4.1 电迁移作用下多空洞形貌演化分析 |
| 4.1.1 平面内电流分布问题与反平面剪切问题类比分析 |
| 4.1.2 包含两个圆形夹杂在内的反平面剪切问题的求解 |
| 4.1.3 多空洞存在下空洞形貌演化规律分析 |
| 4.2 基于概率统计的群空洞的体积增长模型 |
| 4.2.1 初始单圆形空洞的体积增长模型 |
| 4.2.2 基于概率统计的棉絮型群空洞体积增长模型 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 微电子封装互连结构平均失效时间MTTF预测以及电迁移扩散应力分析 |
| 5.1 电迁移作用下扩散应力耦合模型及解析求解 |
| 5.2 基于空洞增长的电迁移平均失效时间的进一步预测 |
| 5.3 考虑焦耳热效应的平均失效时间改进公式 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 基于细观力学的多尺度有限元算法 |
| 6.1 弹性力学有限元方程弱形式推导 |
| 6.2 基于细观力学的多尺度有限元变分方程的建立 |
| 6.3 细观多尺度有限元模型的数值实现 |
| 6.4 细观多尺度有限元算法的算例实现及数值算法之间的对比 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 全文总结 |
| 7.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 攻读博士期间发表的论文和参加科研情况 |
（5）二维随机人工可压缩Navier-Stokes方程解的稳定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 导论 |
| 1.1 选题背景和意义 |
| 1.2 研究思路 |
| 第二章 预备知识 |
| 第三章 在不同条件下解的指数稳定性 |
| 3.1 预备 |
| 3.2 仅对f(χ)和处理的指数稳定性 |
| 3.3 仅对f(χ)和g(t,u)处理的指数稳定性 |
| 3.4 本章小节 |
| 第四章 结论及展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文 |
| 致谢 |
（6）分数阶对流扩散方程的几种数值方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题背景与意义 |
| 1.2 研究进展概述 |
| 1.2.1 有限差分\元\体积法 |
| 1.2.2 无网格类方法 |
| 1.2.3 谱和矩阵类方法 |
| 1.3 研究难点与重点 |
| 1.4 主要工作和组织结构 |
| 1.5 符号约定 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 分数阶微积分的定义和性质 |
| 2.2 一些特殊函数 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 时间分数阶扩散方程的有限差分-指数B-样条配置法 |
| 3.1 指数样条函数 |
| 3.2 有限差分-指数B-样条配置法 |
| 3.2.1 Caputo分数阶导数的离散 |
| 3.2.2 全离散有限差分-指数B-样条配置格式 |
| 3.2.3 初始值的确定 |
| 3.3 数值格式的适定性分析 |
| 3.3.1 唯一可解性 |
| 3.3.2 无条件稳定性 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 时间分数阶对流扩散方程的一种运算矩阵法 |
| 4.1 Block脉冲和Chebyshev cardinal函数 |
| 4.1.1 Block脉冲函数 |
| 4.1.2 Chebyshev cardinal函数 |
| 4.2 Riemann-Liouville分数阶积分的运算矩阵 |
| 4.3 Chebyshev cardinal运算矩阵法 |
| 4.3.1 空间导数的矩阵近似 |
| 4.3.2 运算矩阵格式的构造 |
| 4.4 数值算例 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 空间分数阶对流扩散方程的三次B-样条微分求积法 |
| 5.1 多项式样条函数 |
| 5.1.1 三次B-样条的定义和性质 |
| 5.1.2 三次B-样条的Riemann-Liouville分数阶导数的显式计算 |
| 5.2 三次B-样条微分求积法 |
| 5.2.1 加权系数的确定 |
| 5.2.2 加权平均三次B-样条微分求积格式 |
| 5.3 数值算例 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 不规则区域上空间分数阶扩散方程的径向基微分求积法 |
| 6.1 控制模型 |
| 6.2 径向基函数方法及相关的结论 |
| 6.3 径向基微分求积法 |
| 6.3.1 加权系数的确定 |
| 6.3.2 Crank-Nicolson径向基微分求积格式 |
| 6.3.3 算法流程 |
| 6.4 数值算例 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 工作总结 |
| 7.2 工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文和参加科研情况 |
（8）时间不相容的随机控制问题和弱形式的正倒向随机微分方程（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 倒向随机微分方程和随机递归最优控制问题 |
| 1.2 时间不相容的最优控制问题 |
| 1.3 部分观测的时间不相容递归最优控制问题 |
| 1.4 反射倒向随机微分方程和受障碍约束的递归最优控制问题 |
| 1.5 一类弱形式的正倒向随机微分方程 |
| 第二章 随机系数的时间不相容最优控制问题及随机平衡HJB方程 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 随机系数的时间相容最优控制问题 |
| 2.1.2 倒向随机发展方程和随机HJB方程 |
| 2.2 随机系数的时间不相容最优控制问题 |
| 2.2.1 问题描述 |
| 2.2.2 时间相容平衡解的定义 |
| 2.2.3 多人微分对策问题 |
| 2.2.4 Φ.~∏(·)与Θ.~(k+1)(·)的关系 |
| 2.3 随机平衡HJB方程 |
| 2.3.1 随机平衡HJB方程解的存在唯一性 |
| 2.3.2 平衡控制和平衡值函数 |
| 2.4 随机系数的时间不相容线性二次控制问题 |
| 第三章 部分观测的时间不相容递归最优控制问题及应用 |
| 3.1 完全观测的时间不相容递归最优控制问题 |
| 3.2 Kalman-Bucy滤波方程 |
| 3.3 部分观测的时间不相容递归最优控制问题 |
| 3.4 一个制订最优保费策略的实例 |
| 第四章 受障碍约束的递归最优控制问题的最大值原理 |
| 4.1 受障碍约束的递归最优控制问题 |
| 4.2 近似最大值原理 |
| 4.3 最优控制与近似最优控制的充分条件 |
| 4.3.1 最优控制的充分条件 |
| 4.3.2 近似最优控制的充分条件 |
| 4.4 混合最优控制问题的实例 |
| 第五章 弱形式的正倒向随机微分方程 |
| 5.1 研究动机与解的定义 |
| 5.1.1 对冲期权问题 |
| 5.1.2 非线性的Feynman-Kac公式 |
| 5.1.3 弱形式的FBSDEs与解的定义 |
| 5.2 弱形式的FBSDEs与随机最优控制问题的联系 |
| 5.2.1 随机最大值原理的Hamiltonian系统 |
| 5.2.2 动态规划原理和最大值原理的Hamiltonian函数 |
| 5.2.3 弱框架的随机最优控制问题的形式 |
| 5.2.4 两个反例 |
| 5.3 弱形式的FBSDEs解的适定性 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表及完成的论文 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（9）奇异积分与奇异积分方程的高精度算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 边界元方法及其优点 |
| 1.2 奇异积分与奇异积分方程的研究背景和意义 |
| 1.3 含Volterra型积分算子的积分方程的研究背景和意义 |
| 1.4 本文章节安排 |
| 第二章 超奇异积分的高精度算法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 两种常用函数 |
| 2.2.1 Gamma函数 |
| 2.2.2 Riemann-Zeta函数 |
| 2.3 超奇异积分误差的Euler-Maclaurin展式、求积公式及外推方法 |
| 2.3.1 区间端点为奇点的超奇异积分误差的Euler-Maclaurin展式 |
| 2.3.2 区间内点为超奇点的奇异积分求积公式及误差渐近展式 |
| 2.3.3 求积公式的外推方法 |
| 2.3.4 被积函数G(x) 为周期函数的奇异积分的求积方法 |
| 2.3.5 非周期函数G(x) 的周期化方法 |
| 2.4 超奇异和对数奇异混合型奇异积分的Euler-Maclaurin展开式 |
| 2.5 超奇异积分方程的数值解方法简介 |
| 2.6 超奇异积分和积分方程的数值算例及分析 |
| 2.7 本章小结 |
| 第三章 二维定常Stokes问题的边界积分方程的高精度算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 积分核具有对数奇异情况结论 |
| 3.3 边界积分方程 (BIE) 的边界为光滑闭曲线的MQM与REM |
| 3.3.1 边界为光滑闭曲线的BIE |
| 3.3.2 边界为光滑闭曲线BIE的MQM |
| 3.3.3 边界为光滑闭曲线的BIE的误差渐近展式及REM |
| 3.4 边界为分片光滑闭曲线的BIE的MQM和分裂外推法 (SEM) |
| 3.4.1 在分片光滑曲线边界上具有奇异性的BIE |
| 3.4.2 边界为分片光滑闭曲线的BIE的MQM |
| 3.4.3 边界为分片光滑闭曲线的BIE的多变量近似误差展式及SEM |
| 3.5 应用数值算例及分析 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 第二类非线性弱奇异Volterra积分方程的数值算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 第二类非线性弱奇异Volterra型积分方程解的存在唯一性 |
| 4.3 第二类非线性Volterra积分方程数值求解的方法 |
| 4.3.1 变换方法与求积算法的误差估计 |
| 4.3.2 修正的梯形求积方法及其外推方法 |
| 4.4 第二类奇异Volterra积分方程数值求解的算例 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 工作总结 |
| 5.2 下一步工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A Bernoulli数及Bernoulli多项式 |
| 附录B Mellin变换 |
| 附录C Psi函数 |
| 附录D Hadamard有限项部分及相关结论 |
| 攻博期间取得的研究成果 |
（10）反应扩散方程组的渐近行为及其随机扰动（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 反应扩散方程 |
| 1.2 分数阶反应扩散方程 |
| 1.3 随机反应扩散方程 |
| 1.4 本文的工作安排 |
| 2 反应扩散方程组行波解的稳定性 |
| 2.1 反应扩散方程行波解简介 |
| 2.2 预解算子(λ-L)~(-1)的构造 |
| 2.3 弱竞争扩散系统行波解的稳定性 |
| 2.4 强竞争扩散系统行波解的稳定性 |
| 3 交叉扩散捕食-食饵方程组非常数正解的存在性 |
| 3.1 交叉扩散与斑图形成模型简介 |
| 3.2 先验估计 |
| 3.3 非常数正解的存在性 |
| 4 分数阶反应扩散方程组正温和解的爆破性 |
| 4.1 分数阶反应扩散方程引论 |
| 4.2 分数阶热核的基本性质 |
| 4.3 正温和解的爆破性 |
| 5 反应扩散波的零均值白噪声扰动 |
| 5.1 反应扩散波引论 |
| 5.2 定常状态处的随机扰动 |
| 5.3 稳定定常状态处的渐近随机扰动 |
| 5.4 不稳定定常状态处的渐近随机扰动 |
| 6 反应扩散波的非零均值白噪声扰动 |
| 6.1 反应扩散波与高斯随机场 |
| 6.2 定常状态处的非零均值白噪声扰动 |
| 6.3 稳定定常状态处的正均值白噪声扰动 |
| 6.4 稳定定常状态处的负均值白噪声扰动 |
| 7 总结和展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录1 攻读博士学位期间完成的论文 |
| 附录2 攻读博士学位期间参与的科研项目 |
四、平面上Volterra型随机微分方程的弱解（论文参考文献）
- [1]随机Cahn-Hilliard-Cook方程的C0弱Galerkin有限元方法[D]. 王毓. 吉林大学, 2021(01)
- [2]Lévy噪声驱使的随机微分方程解的适定性研究[D]. 汤洁. 南京财经大学, 2019(04)
- [3]高速湍流燃烧LES-TPDF方法及其应用研究[D]. 张林. 国防科技大学, 2018(01)
- [4]电迁移作用下微电子封装互连结构损伤失效机理研究[D]. 王月兴. 西北工业大学, 2018(02)
- [5]二维随机人工可压缩Navier-Stokes方程解的稳定性研究[D]. 刘星辰. 南京财经大学, 2018(03)
- [6]分数阶对流扩散方程的几种数值方法研究[D]. 朱晓钢. 西北工业大学, 2018(02)
- [7]Tracy-Widom分布及其应用[J]. 苏中根. 应用概率统计, 2016(06)
- [8]时间不相容的随机控制问题和弱形式的正倒向随机微分方程[D]. 王海洋. 山东大学, 2016(09)
- [9]奇异积分与奇异积分方程的高精度算法[D]. 陈冲. 电子科技大学, 2016(01)
- [10]反应扩散方程组的渐近行为及其随机扰动[D]. 吴娥子. 华中科技大学, 2015(07)