一、Sobolev空间的K泛函（论文文献综述）
田书英[1]（2015）在《带多个全特征退化方向的椭圆边值问题以及演化方程的若干研究》文中进行了进一步梳理本文主要研究带多个全特征退化方向的椭圆边值问题,包括解的存在性和多解性,以及变号解的存在性和多解性；带位势的动力学方程解的L2正则性；带对数非线性项的半线性拟抛物方程解的整体存在性和爆破。全文共分六章,具体如下：在第一章中,首先我们回顾奇异流形和其上椭圆边值问题（即带多个全特征退化方向的椭圆边值问题）的研究历史和发展现状,然后介绍动力学方程和拟抛物方程问题的来源和研究现状,最后叙述本文的主要结果。在第二章中,我们分别回顾锥、楔、角奇异流形和其上加权Sobolev空间的定义,以及一些基本的不等式。同时,在锥奇异流形上建立距离函数和Pohozaev型恒等式,在角奇异流形上建立Hardy型不等式。最后总结了奇异流形上一般的Hardy型不等式。在第三章中,我们研究锥奇异流形上渐近线性型椭圆方程-△Bu+λα（Z）f（u）,z∈N+,正解的存在性。利用Pohozaev型恒等式、质心函数以及其极限方程解的性质,结合环绕定理我们得到该方程存在一个非平凡的正解。在第四章中,我们考察楔奇异流形上半线性椭圆方程解和变号解的存在性及其多解性,其中λ＞0,N=1+N+q,n≥1,q≥1,2＜p＜2N/N-2.利用对称山路引理和新的环绕定理分别得到无穷多个解和变号解的存在性。在第五章中,首先我们研究带Hardy势的角Laplace算子(即-△Mu-uVu的谱分解定理,然后用它得到如下带势函数的退化椭圆型方程解和变号解的存在性及其多解性,最后,利用扰动方法得到如下带扰动的半线性椭圆型方程变号解的存在性和多解性,在第六章中,首先我们研究如下带位势的动力学方程аtu+y·（?）xu—（?）x.V（x）·（?）yu=f（t,x,y）,解的L2正则性,应用乘子方法从速度变量的正则性得到空间变量的正则性,去掉了Bouchut文章[JMath.Pure Appl.,81,2002]中对指标的一些限制,得到更一般的结果；同时对位势做了估计。最后,利用位势井方法得到如下带对数非线性项的拟抛物方程解的整体存在性、渐近估计和在+∞爆破。我们的结果不同于Xu-Su文章[J.Funct. Anal.,264,2013]中的结果；当上述方程右端为多项式非线性项时,他们得到解在有限时刻爆破。同时由于黏性项△ut的影响,我们只能得到解以任意阶多项式形式增长。
王艳宁[2]（2016）在《时标上的共形分数阶Sobolev空间及其在变分方法中的应用》文中研究指明本文旨在建立应用变分方法研究时标上的共形分数阶微分方程边值问题的工作空间,并应用变分方法研究时标上的共形分数阶微分方程边值问题解的存在性和多解性.首先我们完善了时标上的共形分数阶微积分的一些性质.其次,我们在时标上的共形分数阶微积分理论的基础上建立了时标上的共形分数阶Sobolev空间,研究了该空间的完备性、自反性、一致凸性、嵌入定理以及其上满足一定形式的泛函的连续可微性等重要性质.最后，作为其在变分方法中的应用,我们在这类空间上构造了时标上的共形分数阶P-Laplacian微分方程边值问题、时标上的共形分数阶Hamiltonian系统、时标上的脉冲共形分数阶Hamiltonian系统、时标上具受迫项的共形分数阶Hamiltonian系统、时标上的共形分数阶脉冲阻尼振动问题等五类时标上的共形分数阶微分方程边值问题的变分泛函,应用临界点理论研究其解的存在性和多解性,并举例说明所给条件的合理性和有效性.
邓波[3]（2004）在《随机偏微分方程在大地边值问题中的应用》文中指出地球重力学不仅是地球物理学的一个重要分支,而且是大地测量学的主要支柱之一。它的基本科学任务是研究如何利用观测数据来确定地球形状、大小和外部重力场。这一科学任务用数学语言来表达就是求解一类经典位势偏微分方程的定解问题,这类问题的定解条件是在待求的地球表面上通过重力、天文和水准等测量手段得到的边值条件,人们称这类具有自由边界面的位势方程外部问题为大地测量边值问题,简称大地边值问题。作为地球重力学的研究主题,大地边值问题的研究,从地球重力学1849年由Stokes定理奠基开始,贯穿着学科发展的全过程,至今已经经历了Stokes理论、Molodensky理论、Bjerhammar理论三个里程碑,取得了举世瞩目的成果。但是,在上世纪80年代以前,这一研究基本上是属于Laplace确定性论意义的范畴。近年来,由于高新观测技术的长足进步,含重力场信息的各类高精度数据的不断获得,学科自身的发展和工程使用的需要,迫使人们去研究与当前精度相应的重力场精细建模理论与方法。一种沿非传统方向的开拓性工作,就是在上世纪90年代有Sanso等人倡议的,即从不确定性论的观点,由现代随机数学理论出发来研究地球重力学主题;将重力场看成广义随机函数一随机过程,提出所谓随机大地边值问题,并研究问题解的性质和解法。 本文研究的核心内容是:利用随机偏微分方程理论和方法研究大地测量边值问题,完成调和重力场的随机建模。 通过研究,本文给出如下主要的工作与结论,包括下面几点 首先以比较广阔的视角回顾评述了大地边值问题理论的最新进展,主要包括Stokes问题、Molodensky问题、Hotine问题及Bjerhammar问题等,探讨了现代大地边值问题某些深刻的数学内涵和问题所在,并指出了随机偏微分方程应用于大地测量学的研究目前尚未得到重视的原因。 其次推演和给出了建立随机Laplace方程的数学方法并用于求解大地测量边值问题。利用随机场理论、随机偏微分方程理论中的随机Laplace算子方程理论,并结合重力学的场论知识,来解决研究目标和研究内容中的主要关键问题;引入广义函数,结合随机数学知识,实现了Sobolev空间的随机化过程。同时在随机化了的广义函数空间上,特别是在随机化Sobolev空间中对随机边值问题的解的空间属性进行阐述。 讨论了随机偏微分方程理论用于大地边值问题的关键问题。既然广义函数在孤立点处没什么特别的意义,加之在随机Sobolev空间中求解偏微分方程,首先必须把古典导数的概念推广到弱导数（或强导数）,通常还要求弱解在边界或部分边界上的前几阶导数值是给定的（经典重力梯度边值问题要求取得边界或部分边界的二阶导数）,那么该广义随机函数在边界上的取值,其确切含义必须详细说明。本文将对边界Γ给出明确的解释并且对广义随机函数在边界上取值的含义予以说明,给出随机Sobolev空间的边界迹的定义。
郭立丰[4]（2013）在《变指数微分形式空间及其应用》文中进行了进一步梳理微分形式理论在数学以及工程技术学的各个领域中都有着广泛的应用。作为函数的推广，微分形式空间的研究工作进展迅速。与此同时，微分形式的A-调和方程作为函数的A-调和方程的推广，其解性质的研究更是吸引了众多数学工作者。近十几年来，随着自然科学及工程技术学中许多具有变指数增长性条件的非线性问题的不断出现，这样以往的常指数微分形式空间表现出了其应用的局限性，所以像常指数函数空间被推广为变指数函数空间一样，将常指数微分形式空间推广为变指数微分形式空间具有重大意义。本文中，一方面将变指数函数空间的一些研究工作推广到变指数微分形式空间，在对变指数微分形式空间性质作了详细地讨论之后，利用经典的变分理论证明了几类非线性系统弱解的存在性和唯一性；另一方面将欧氏空间上变指数函数空间理论推广到完备黎曼流形上，并考虑了完备黎曼流形的有界区域上p（m）-调和方程弱解的存在性和唯一性。本文的主要研究工作如下：首先，引入了变指数微分形式Lebesgue空间Lp（x）（, Λk）和外Sobolev空间W1,p（x）（, Λk），并结合变指数函数空间上Caldero′n-Zygmund算子性质，推广了常指数微分形式Lebesgue空间上同伦算子T的性质到变指数微分形式Lebesgue空间。进而，讨论了与外Sobolev空间W1,p（x）（, Λk）相关的变指数微分形式空间κ1,p（x）（, Λk）的性质。然后采用对区域分割的方法解决了一类非线性系统弱解的存在性。其次，引入了加权变指数微分形式Lebesgue空间Lp（x）（, Λk, ω）和加权外Sobolev空间W1,p（x）（, Λk, ω）.在讨论了空间性质之后，解决了一类障碍问题解的存在性和唯一性。进而，得到了一类具有变增长性条件的非齐次A-调和方程Dirichlet问题弱解的存在性和唯一性。最后，引入了完备黎曼流形上变指数微分形式Lebesgue空间Lp（m）（ΛkM）和外Sobolev空间W1,p（m）（ΛkM），应用实分析中Vitali收敛定理、Lebesgue控制收敛定理以及Luzin定理等详细的讨论了空间的完备性、可分性、自反性以及绝对收敛性等重要性质。与此同时，也建立了当变指数p（m）,q（m）满足一定条件时，W1,p（m）（ΛkM）到Lq（m）（ΛkM）的紧嵌入定理。然后解决了完备黎曼流形的有界区域上非齐次p（m）-调和方程Dirichlet问题弱解的存在性和唯一性。特别地，将欧氏空间上变指数函数空间理论推广到了黎曼流形上。
叶红雨[5]（2014）在《关于一些非线性椭圆型方程及方程组非平凡解的存在性研究》文中指出本文主要研究非线性Schrodinger-Kirchhoff型方程的次临界与临界问题,P-Laplacian型方程多解的存在性,零质量的半线性椭圆型方程组非平凡解的存在性及带双临界指标的耦合的Schrodingcr方程组极小能量正解的存在性.本文共分六章：在第一章中,我们概述本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作及相关的预备知识和一些记号.在第二章中,我们研究下述非线性Kirchhoff方程正的基态解的存在性,其中a：b>0是正常数且2<p<5.当位势函数V（x）满足某些给定条件时,利用全局紧定理和一个单调性技巧,我们证明了（E1）至少存在一个正的基态解.特别地,我们的结果解决了当2<p≤3时非局部问题（E1）非平凡解的存在性这一公开问题并推广了文献[62]的结果,其中文献[62]考虑的是Kirchhoff方程当非线性项满足f（u）～|u|p-1u,3<p<5的情形.我们给出了处理2<p<5的一个统一方法.在第三章中,我们研究下述带临界Sobolev指标的非线性Kirchhoff型问题正解的存在性,其中a,6>0.f（x,t）满足两类假设条件：一类是f（x,t）三f（t）在0处超线性,f（t）/t3严格单调递增且满足（AR）条件；一类是f（x,t）三fλ（x）|t|p-2t,其中fλ（x）是一个变号的位势函数且p∈[2,4).利用山路引理和集中紧致原理,我们证明了问题（E2）至少存在一个正解.我们的结果是文献[62]关于全空间上Kirchhoff方程次临界问题的存在性结果的一个部分推广.在第四章中,我们考虑下述定义在全空间RN上的拟线性p-Laplacian型方程无穷多解的存在性：其中入∈R,1<p<N,△pU=div（|Du|p-2Du）是p-Laplacian算子.当位势函数V（x）和非线性项g（x,t）关于x是径向对称的且满足某些给定条件时,我们证明了对任意的λ∈R,问题（F3）在W1,p（RN）中有无穷多个非平凡解.我们的结果推广了文献[49]中一个关于有界域上p-Laplacian方程的存在性结果.在第五章中,我们研究下述零质量的半线性椭圆型方程组正解的存在性,其中N>2和函数K：RN→R满足K（x）>0且K∈L∞（RN）∩LN/2（RN）且f（t）,f（t）满足在0处超临界增长,在无穷远处拟临界且超线性增长,我们证明了问题（S1）至少存在一对正解（u,v）∈D1,2（RN）×D1,2（RN）.我们的结果可以看成是文献[5]中关于零质量的单个方程的主要结论的一个推广.同时,我们的结果也推广了文献[74]中关于Hamiltonian型半线性椭圆型方程组非平凡解存在性结果.在第六章中,我们研究由单个Brczis-Nircnbcrg问题推广得到的带双临界指标项的耦合的Schrodingcr方程组非平凡解的存在性,其中Ω （?） R3是一个光滑的有界域,λ1,λ2<0,μ1,μ2>0且β>0.我们证明了当λ1,λ2满足某种条件时,存在β1>0使得对任意的β>β1,问题（S2）至少存在极小能量正解.特别地,当λ1=λ2时,我们证明了问题（S2）存在形如（c1ωW:C2ω）的极小能量解,其中ω是方程组对应的Brezis-Nircnbcrg问题的极小能量正解.我们的主要结果可以看成是文献[41,42]关于RN（N≥4）中有界域上带双临界指标项的耦合的Schrodingcr方程组部分结果在R3中有界域的一个推广.
廖家锋[6]（2016）在《几类椭圆边值问题正解的存在性和多重性》文中认为本文运用变分方法、Nehari方法和一些分析技巧研究了几类椭圆边值问题正解的存在性和多重性.首先,研究了如下带临界指数的半线性椭圆问题其中Ω（?）Rn（N≥3）是一个具有光滑边界的有界区域,1<g<28,A>0以及28=2N/N-2为Sobolev临界指数.系数函数是一个非零非负函数,q∈C(（Ω）是一个正函数.利用变分方法和Nehari方法获得了问题（0.1）正解的存在性和多重性.其次,研究了如下奇异Neumann边值问题其中Ω（?）RN（N ≥3）是个具有光滑边界的有界区域,λ>0,0<λ<1<p≤2*-1.系数函数为非零非负函数.P也是一个非零非负函数且满足当1<p<28一1时,利用Nehari方法获得了问题（0.2）的两个解；当p=28一1时,利用极小极大方法和一些分析技巧获得了问题（0.2）解的存在性.接下来,研究了如下带奇异项的Kirchhoff型方程其中Ω（?）R3是一个有界区域,a,b,λ,μ>0,0<λ<1利用Nehari方法和极小极大方法获得了问题（0.3）解的存在性和多重性.最后,利用极小极大方法和一些分析技巧研究了如下带奇异项的Kirchhoff型问题解的唯一性其中Ω(?0RN（N≥3）是个有界区域,0<γ<1,λ≥0,0<p≤2*-1,a,b≥0且a+b>0.系数函数在Ω中几乎处处大于零.
马宁[7]（2021）在《带马氏链的倒向（双重）随机微分方程及其对应的（随机）偏微方程问题研究》文中进行了进一步梳理1992年,Peng和Pardoux[70]首次给出了非线性倒向随机微分方程（BSDE）适应解的存在唯一性。此后,由于BSDE以及正倒向随机微分方程（FBSDE）良好的结构,其不仅在随机分析（[18,74]）、偏微分方程（[68,12]）等基础领域得到广泛研究,也为金融数学（[27,20]）、随机控制（[72,75]）等应用领域提供了坚实的理论支撑。然而,仅由布朗运动驱动的正倒向系统仅能有效刻画模型中连续的参数,但在现实世界中,有很多发生频率较低（偶发）,但对系统有着长远深刻影响的事件。以股票市场为例,市场趋势变化（牛市熊市转换）、政策变动等均为不连续且偶发的状态,但对股票市场影响深远。仅由布朗运动驱动的经典扩散模型不能很好的刻画上述事件。马氏链作为一种状态离散、时间连续的随机跳过程,其特有的性质恰好可以对上述事件刻画,该思想最早由Hamilton[31]提出,现已得到广泛关注与研究（[105,87]）。因此,我们引入一类连续时间有限状态的马氏链,并使之与BSDE系统进行耦合,进而研究一类由布朗运动与马氏链共同驱动的混合系统。在此类系统中,系数中包含马氏链,以马氏链的状态刻画偶发事件等,使得系统状态依赖于事件变化。比如在股票市场中,我们在股票价格模型的系数中引入含两个状态的马氏链,其状态分别代表牛市和熊市,此时的系统可以刻画由牛市熊市转换对股票价格的影响。此外,在研究受噪声干扰的部分可观测信息问题时,带马氏链的滤波技术起到关键作用（[2,88]）。以上问题的数学理论支撑本质上是带马氏链的正向或者倒向系统。因此,本文将致力于研究带马氏链的倒向随机系统,包括带马氏链的倒向微分方程（BSDEM）,带马氏链的倒向双重随机微分方程（BDSDEM）以及正倒向系统对应的偏微分方程（PDE）、随机偏微分方程（SPDE）问题。本文主要由以下六章组成:论文第一章,阐述本文所涉及问题的研究背景以及研究意义,并详细说明此后每章的主要学术贡献。论文第二章,主要研究带马氏链的随机微分方程（SDEM）解的随机流性质以及其上的Malliavin分析,为接下来研究倒向及倒向双重随机微分方程做准备。首先,我们得到SDEM的解可以构成一个随机流,然后,利用经典的解的估计方法,我们得到SDEM解的高阶估计,并利用同伦理论,得到其解可形成一个微分同胚。最终,我们得到一个推广的等价范数定理,其在研究与SDEM耦合的BSDEM及BDSDEM在Sobolev空间中的解问题时起到关键作用。此外,为了研究SDEM的解在维纳空间中的正则性以及后面第五章关于中关于“Z”的表示,我们研究了一类随机变量的M alliavin可微性问题,此类随机变量不仅带有维纳过程的信息,还带有与维纳过程独立的信息。利用独立性,我们得到了此类随机变量的维纳-伊藤混沌分解,并最后推广了着名的Clark-Ocone公式。利用逼近方法,最终得到SDEM的解在维纳空间中的正则性。论文第三章,本章主要研究了与BSDEM相关联的PDE的光滑解与Sobolev弱解。首先,利用经典的估计技术,我们得到BSDEM解的高阶估计以及其解关于参数的连续依赖性和光滑性。利用逼近技术,我们得到BSDEM中“Z”的表示,由此我们得到了 PDE光滑解的存在唯一性。在经典的Lipschitz条件下,BSDEM的解的存在唯一性已经有结果。但是,在研究其对应的PDE的Sobolev弱解问题时,我们发现如果将经典Lipschitz条件弱化为一种带权重函数的泛函形式的Lipschitz条件,得到的BSDEM的解能够更加自然的描述PDE的解。因此,利用第二章中得到的等价范数定理,Riesz表示定理,磨光技术以及一些经典的估计方法,我们首先得到了在泛函Lipschitz条件下BSDEM解的存在唯一性。最后,利用逼近技术,我们得到了 PDE的Sobolev弱解的概率解释。论文第四章,在本章中,我们主要研究了 BDSDEM解的存在唯一性以及比较定理。首先,我们给出了一个推广的伊藤公式;然后,在经典的Lipschitz条件下,利用鞅表示定理以及逼近技术,我们得到了其解的存在唯一性;随后,利用Yosida逼近,我们研究了在单调条件下,BDSDEM解的存在唯一性,并分别给出了在以上两种条件下的比较定理。最后,我们研究了在局部单调条件下,BDSDM解的存在唯一性。通过构造一列全局单调的BDSDEM,我们证明了其极限即为在局部单调条件下BDSDEM的唯一解。论文第五章,本章主要研究了与BDSDEM相关联的SPDE的光滑解与Sobolev弱解问题。首先,利用经典的估计技术,我们得到BDSDEM解的高阶估计以及其解关于参数的连续依赖性和光滑性。利用第二章的Malliavin分析,我们得到BSDEM中“Z”的表示,由此我们得到了 SPDE光滑解的存在唯一性。同样地,在泛函形式的Lipschitz条件下,BDSDEM的解可以更加自然的描述SPDE。因此,利用第二章中得到的等价范数定理,Riesz表示定理,磨光技术以及一些经典的估计方法,我们首先得到了在泛函Lipschitz条件下BDSDEM解的存在唯一性,利用逼近技术,我们得到了其对应的SPDE的Sobolev弱解的存在唯一性。最后,利用时间方向上的有限差分法以及空间方向的谱配点法,我们给出了此类SPDE的一个数值结果。论文第六章,总结本文的研究结果并给出一些研究展望。
李敏[8]（2008）在《基于小波和变分PDE的图像建模理论、算法及应用》文中研究说明小波分析和变分PDE理论是目前图像处理和低层视觉分析领域的两大基本数学工具。本论文主要围绕二者在图像处理中的建模和应用来进行研究。主要做了以下几个方面的工作:1.以图像恢复为应用背景,探讨了BV正则化空间中G模型（带有自适应逼近项的广义TV方法）和OSV模型（带有H?1范数的TV变分模型）分别与“纯粹的”各向异性扩散方程和小波分析的有机结合。首先,针对PDE去噪方法中非线性扩散方程与变分法的联系,对G模型作了改进,提出一个基于TV和各向异性扩散方程的图像恢复模型。通过引进“纯粹的”各向异性扩散方程的扩散项,该方法不但能够有效地去除噪声、保持边缘的位置,而且能够更好地保持图像中的纹理特征和不能用边缘刻画的大尺度细小特征,使处理过的图像清晰度和对比度大大增加。其次,根据小波系数范数和H?1范数的等价性,在OSV模型基础上提出一个新的TV去噪模型。该方法实现了图像几何信息（曲率）与小波分解的结合,从而避免了在时域中求解复杂的非线性PDE。最后,通过分析OSV模型的性质（v在L2 （Ω）中均值为零）,给出其在小波域中类似Galerkin方法的求解算法。实验表明该算法具有可行性。2.主要致力于研究变分模型在图像分解中的应用。针对Meyer提出的TV极小化框架下的振荡函数建模理论,给出其理论模型（BV, G ）和（BV, E ）在Besov空间中的推广。然后,根据Besov半范数与小波系数范数的等价性,建立了推广模型在小波域中的快速求解方法,从而避免了求解传统意义上的非线性PDE。具体地讲,主要有三方面的内容:第一,提出一类基于Besov空间与负Hilbert-Sobolev空间的变分模型。通过小波系数范数的等价刻画,该模型的解都可以解释为作用于单个小波系数的不同阈值函数。第二,在上述变分模型的基础上,修正Besov光滑项,从而提出基于小波投影的求解算法。算例表明该模型的解都可以表示为不同的小波全局阈值函数。第三,提出一类基于Besov空间与齐次Besov空间的变分模型,并给出其基于不同小波阈值的逐次迭代算法和相应的收敛性分析。3.给出三种迭代正则化算法:一是基于VO变分模型的迭代正则化。通过采用广义Bregman距离,对VO变分模型定义了新的迭代正则化序列,并由此推导出相应的算法。实验表明该算法可以进一步改善VO变分模型在纹理图像恢复中的不足。二是给出一类基于Besov空间B1α,1 （Ω）（α> 0）的迭代正则化。通过引进平移不变的小波变换,新迭代正则化的解都可以解释为依赖于小波尺度、Besov光滑阶、尺度参数以及迭代次数的小波阈值函数。然后,借鉴全变差（TV）图像恢复的思想将上述迭代正则化方法推广到一类基于平移不变小波变换的加权逆尺度空间。最后,研究了一种基于等级分解的图像多尺度表示方法。通过引进单调的尺度参数,该方法为图像在中间空间,BVθ（θ∈[0,1]）的特征刻画提供了一种分级的自适应表达式。实验表明新算法是有意义的。4.在AAFC图像分解变分模型的基础上,通过引入半二次规整化思想,导出一个耦合边缘提取的图像分解变分模型,从而实现了图像结构、振荡成分（纹理或噪声）与边缘三种特征的同时提取。同时,探讨了新模型基于投影与耦合PDE系统的逐次迭代算法与相应的数值离散。实验表明,对目标图像与边缘均引入各向异性扩散机制的耦合PDE系统和投影算法能够取得较好的图像分解和边缘检测效果。5.提出一种新的图像放大算法。首先,用Besov范数刻画图像的正则性构造一个变分泛函,然后极小化该变分泛函就得到放大图像。其次,利用Besov范数与小波系数范数之间的等价描述,新的变分问题就完全转化为基于小波域的变分序列,其相应的最优解都可以表示为基于小波域的正交投影。
谷花[9]（2019）在《几类Schr?dinger-Poisson系统解的存在性》文中进行了进一步梳理随着非线性科学的发展,非线性偏微分方程将数学理论与实际应用紧密联系起来.另外,非线性偏微分方程在物理学、化学、力学等领域大量涌现,比如Schr?dinger-Poisson系统.该系统在量子力学模型和半导体理论中都有出现,它是用来描述与静电场相互作用的Schr?dinger方程孤波解的模型.Schr?dinger-Poisson系统解的存在性和多重性一直是学者们关注的问题.本文利用Hardy不等式,对数Sobolev不等式,山路定理,集中紧性原理以及对称山路定理等变分方法讨论了 Schr?dinger-Poisson问题在不同假设条件下解的存在情况.本文分为三章.第一章,考虑如下带有Hardy项和对数非线性项的Schr?dinger-Poisson系统其中Ω是R3中的有界光滑区域,0 ≤μ<μ:=1/4,μ是最佳Hardy常数.主要目的是研究当非线性项f满足适当的假设条件下,上述系统非平凡解的存在性.具体的说,非线性项f满足（f1）函数f∈C（R,R）,而且f（0）=0;（f2）limt→0 f（t）/t=0;（f3）存在C>0及p∈（2,6）使得对于任意的t∈R,|f（t）|≤C（|t|+|t|p-1）;（f4）limt→∞F（t）/t4=∞,这里F（t）=∫0t f（s）ds,t ∈ R;（f5）存在σ（0,4）,及C1,C2>0使得对于任意的t∈R,f（t）t-4F（t）≥C1|t|2+σ≥-C2t2.我们将利用Hardy不等式,对数Sobolev不等式以及山路定理来证明上述系统有一个非平凡解.第二章,利用集中紧性原理和对称山路定理考虑如下带有临界指数的Schr?dinger-Poisson 系统解的多重性,其中Ω（?）R3是一个有界光滑区域,q ∈[4,6),入,δ是正参数.第三章,考虑如下带有临界和超临界非线性项的Schr?dinger-Poisson系统其中p ∈（4,6）,q ∈（6,+∞）,b ∈ C（R3,]R+）是一个径向势函数且满足如下条件:（Bi）存在r>0使得lim|x|→0b（x）/|x|r=b0≥0;（B2）b∞O=lim|x|→∞b（x）<∞.根据势函数在零点的性质,我们得到一个紧嵌入结果,再结合山路能量水平的估计,山路定理以及Nehari流形方法,获得了上述系统基态解的存在性.
陈隽[10]（2013）在《含旋度算子的变分问题及偏微分方程组》文中提出含旋度算子的偏微分方程组在数学物理领域有着广泛的应用.例如经典电动力学中的Maxwell方程组、非线性电动力学中的Born-Infeld模型、描述超导体性质的各种模型等.另一方面,从数学角度看,含旋度算子的偏微分方程组也颇为值得探究.我们观察到含旋度算子的问题有许多不同于含梯度算子的问题的地方.此外,含旋度算子的问题与许多其他的问题有千丝万缕的联系.比如其与Lame算子之间的关联,其正则性问题与通常含梯度算子的经典椭圆方程问题（例如p-Laplace方程、p-growth方程的Dirichlet问题、Neumann问题、斜微商问题等）的基本理论有密切的联系.基于以上考虑,我们希望考察旋度算子、区域的拓扑、方程组的低阶项以及边界条件之间的关系,及它们如何影响解的存在性和正则性,以帮助我们深入理解这类问题与含梯度算子的问题之间的相同、不同之处,建立含有旋度算子的变分问题及偏微分方程组的基本数学理论,并为相关的物理问题提供一些参考.本文分为两章,第一章研究有界域上一类扩展的静磁场Born-Infeld模型,这类问题有明确的物理背景,在非线性电动力学中占据重要地位.我们克服了泛函主项一阶增长、缺乏弱紧性以及对应方程组的退化椭圆性等本质困难,得到了能量有限的非平凡的经典解.第二章研究的是q-curl curl拟线性方程组,这类问题不仅具有典型的数学结构,而且与描述硬超导体临界态的Bean模型有关.我们考察了两类边界条件下方程的解的存在性和正则性,观察到其与诸多经典椭圆方程问题之间的联系,克服了方程主项奇异（1<q<2）或退化（2≤q<+∞）等本质困难,建立了较为系统的数学理论.
二、Sobolev空间的K泛函（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Sobolev空间的K泛函（论文提纲范文）
（1）带多个全特征退化方向的椭圆边值问题以及演化方程的若干研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 引言 |
| 1.1 研究现状 |
| 1.2 本文主要结果 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 锥奇异流形上Sobolev空间的定义与性质 |
| 2.2 锥奇异流形上Pohozaev型恒等式 |
| 2.2.1 锥奇异流形上距离 |
| 2.2.2 Pohozaev型恒等式 |
| 2.3 楔奇异流形上Sobolev空间的定义与性质 |
| 2.4 角奇异流形上Sobolev空间的定义与性质 |
| 2.5 角奇异流形上Hardy型不等式 |
| 3 带锥奇性的渐近线性型椭圆方程正解的存在性 |
| 3.1 背景 |
| 3.2 Pohozaev流形 |
| 3.3 极限方程解的性质 |
| 3.4 不存在性结论 |
| 3.5 正解的存在性 |
| 4 楔奇异流形上椭圆方程的多解性 |
| 4.1 背景 |
| 4.2 解的存在性与多解性 |
| 4.3 变号解的存在性与多解性 |
| 5 奇异流形上椭圆方程的多解性 |
| 5.1 带Hardy势的椭圆方程的多解性 |
| 5.2 带Hardy势的椭圆方程变号解的存在性与多解性 |
| 5.3 带扰动的退化椭圆方程多个变号解的存在性 |
| 6 一类动力学方程和拟抛物型方程解的性质 |
| 6.1 一类动力学方程解的L~2则性 |
| 6.1.1 预备知识 |
| 6.1.2 不含位势情形 |
| 6.1.3 带位势的次椭圆估计 |
| 6.2 带对数非线性项的拟抛物方程初边值问题 |
| 6.2.1 位势井和不变集合 |
| 6.2.2 解的整体存在性和渐近估计 |
| 6.2.3 解在+∞爆破 |
| 参考文献 |
| 攻博期间发表的科研成果目录 |
| 致谢 |
（2）时标上的共形分数阶Sobolev空间及其在变分方法中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| 1.1 时标上的整数阶微积分简述 |
| 1.2 分数阶微积分的历史背景与分数阶微分方程的研究现状 |
| 1.3 建立时标上的共形分数阶Sobolev空间的必要性 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 第二章 时标上的共形分数阶Sobolev空间及其相关性质 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 时标上的整数阶微积分的相关概念 |
| 2.3 时标上的共形分数阶微积分的概念及其相关性质 |
| 2.4 时标上的共形分数阶Sobolev空间的定义及相关性质 |
| 2.5 小结 |
| 第三章 时标上的共形分数阶p-Laplacian微分方程边值问题解的存在性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 准备工作 |
| 3.3 主要结果 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 一类时标上的共形分数阶Hamiltonian系统解的存在性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 准备工作 |
| 4.3 主要结果 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 一类时标上的脉冲共形分数阶Hamiltonian系统解的存在性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 准备工作 |
| 5.3 主要结果 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 一类时标上具受迫项的共形分数阶Hamiltonian系统解的存在性和多解性 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 准备工作 |
| 6.3 主要结果 |
| 6.4 小结 |
| 第七章 一类时标上的共形分数阶脉冲阻尼振动问题解的存在性和多解性 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 准备工作 |
| 7.3 主要结果 |
| 7.4 小结 |
| 第八章 后记 |
| 参考文献 |
| 博士期间主要成果 |
| 致谢 |
（3）随机偏微分方程在大地边值问题中的应用（论文提纲范文）
| 郑重声明 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| §1.1 引言 |
| §1.2 大地边值问题的进展与前景 |
| §1.3 本文研究的内容、目的及意义 |
| §1.4 偏微分方程的相关理论 |
| 第2章 确定论地球重力场的统计方法 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 最小二乘配置基本方法 |
| §2.3几何解释 |
| §2.4 本章小结 |
| 第3章 随机Sobolev空间 |
| §3.0 引言 |
| §3.1 基本概念 |
| §3.2 检验函数空间 |
| §3.3 广义随机函数 |
| §3.4 随机空间里确定性函数的对偶属性 |
| §3.5 随机Sobolev空间 |
| §3.6 本章小结 |
| 本章附录 构建随机Sobolev空间的泛函属性 |
| 第4章 随机Sobolev空间的边界迹 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 超平面投影算子 |
| §4.3 边界迹的定义 |
| §4.4 直和分解 |
| §4.5 确定性函数补充说明 |
| §4.6 广义随机函数的扩张 |
| §4.7 边界面上的单位分解 |
| §4.8 一般区域T的边界迹 |
| §4.9 随机偏微分方程(SPDE) |
| §4.10 本章小结 |
| 本章附录 函数的单位分解(分片)与磨光概念 |
| 第5章 调和随机场边值问题 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 调和重力场随机函数空间 |
| §5.3 问题的提法 |
| §5.4 随机拉普拉斯方程 |
| §5.5 Laplace方程的直补 |
| §5.6 拉普拉斯方程的一般解 |
| §5.7 随机Dirichlet问题 |
| §5.8 期望和方差 |
| §5.9 本章小结 |
| 第6章 重力场随机边值问题解的积分表示 |
| §6.1 引言 |
| §6.2 Driac函数视为一般函数的弱收敛极限 |
| §6.3 经典Dirichlet问题的PoiSSon积分解 |
| §6.4 广义函数理论框架下Poisson公式的直接推广 |
| §6.5 随机Sobolev空间 |
| §6.6 调和随机场Laplace方程 |
| §6.7 随机Laplace方程的Poisson积分表达式 |
| §6.8 其它讨论 |
| §6.9 本章小结 |
| 第7章 重力学边值问题边界数据随机模型 |
| §7.1 引言 |
| §7.2 连续观测方程的建立 |
| §7.3 误差讨论 |
| §7.4 本章小结 |
| 第8章 结论与建议 |
| 参考文献 |
| 博士学习期间发表的论文、着作及科研情况 |
| 致谢 |
（4）变指数微分形式空间及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 微分形式 |
| 1.1.1 微分形式及其常指数空间 |
| 1.1.2 微分形式A-调和方程 |
| 1.2 变指数函数空间 |
| 1.2.1 变指数函数空间的概念及其性质 |
| 1.2.2 具有变指数增长性条件的偏微分方程解的研究现状及分析 |
| 1.3 本文的主要内容及其结构 |
| 第2章 具有变指数增长性条件的A-调和方程 |
| 2.1 微分形式空间L~(p(x))( , Λ~l)和W~(1,p(x))( , Λ~l) |
| 2.2 微分形式空间κ~(1,p(x))( , Λ~l) |
| 2.3 具有变指数增长性条件的A-调和方程弱解的存在性 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 具有变指数增长性条件的障碍问题 |
| 3.1 加权微分形式空间L~(p(x))( , Λ~k, ω)和W~(1,p(x))( , Λ~k, ω)的定义 |
| 3.2 加权微分形式空间L~(p(x))( , Λ~k, ω)和W~(1,p(x))( , Λ~k, ω)的性质 |
| 3.3 具有变指数增长性条件的障碍问题解的存在唯一性 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 黎曼流形上变指数微分形式空间及其应用 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 黎曼流形上的微分形式 |
| 4.3 黎曼流形上变指数微分形式Lebesgue空间 |
| 4.4 黎曼流形上变指数微分形式外Sobolev空间 |
| 4.5 有界区域上p(m)-调和方程弱解的存在唯一性 |
| 4.6 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（5）关于一些非线性椭圆型方程及方程组非平凡解的存在性研究（论文提纲范文）
| 内容摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题的背景及研究现状 |
| 1.2 本文的记号 |
| 1.3 定义及引理 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 1.5 结构安排 |
| 第二章 R~3中非线性Kirchhoff方程基态正解的存在性 |
| 2.1 问题的提出及其主要结果 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 定理2.1.1和定理2.1.3的证明 |
| 2.4 定理2.1.4的证明 |
| 第三章 R~3中带临界Sobolev指标项的非线性Kirchhoff型问题正解的存在性 |
| 3.1 问题的提出及其主要结果 |
| 3.2 定理3.1.1的证明 |
| 3.3 预备知识 |
| 3.4 定理3.1.2和定理3.1.3的证明 |
| 第四章 RN上带环绕结构的p-Laplacian型方程无穷多解的存在性 |
| 4.1 问题的提出及主要结果 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 定理4.1.1的证明 |
| 第五章 R~N中零质量的半线性椭圆型方程组正解的存在性 |
| 5.1 问题的提出及主要结果 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.3 定理5.1.1的证明 |
| 第六章 带双临界指标项的耦合的Schrodinger方程组极小能量正解的存在性 |
| 6.1 问题的提出及其主要结果 |
| 6.2 定理6.1.1的证明 |
| 6.3 定理6.1.3的证明 |
| 6.4 定理6.1.2的证明 |
| 参考文献 |
| 研究生期间已发表和待发表的论文 |
| 致谢 |
（6）几类椭圆边值问题正解的存在性和多重性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究的背景 |
| 1.2 研究的内容与成果 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 论文的结构安排 |
| 第2章 一类带临界指数半线性椭圆方程 |
| 2.1 主要结论 |
| 2.2 定理 2.1.1 的证明 |
| 2.3 定理 2.1.2 和定理 2.1.3 的证明 |
| 第3章 一类带Neumann边值的奇异椭圆方程 |
| 3.1 主要结论 |
| 3.2 定理 3.1.1 的证明 |
| 3.3 定理 3.1.2 的证明 |
| 第4章 两类奇异的Kirchhoff型问题 |
| 4.1 主要结论 |
| 4.2 定理 4.1.1 的证明 |
| 4.3 定理 4.1.2 的证明 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成和发表的学术论文 |
| 致谢 |
（7）带马氏链的倒向（双重）随机微分方程及其对应的（随机）偏微方程问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 第—章 绪论 |
| §1.1 带马氏链的随机微分方程解的随机流理论及对应Malliavin分析 |
| §1.2 带马氏链的倒向随机微分方程及其对应的偏微分方程 |
| §1.3 带马氏链的倒向双重随机微分方程 |
| §1.4 随机偏微分方程的经典解与Sobolev弱解 |
| 第二章 带马氏链的随机微分方程解的随机流理论及对应的Malliavin分析 |
| §2.1 问题描述 |
| §2.2 SDEM的解关于初始状态及时间的连续依赖性 |
| §2.3 随机流理论以及范数等价定理 |
| §2.4 SDEM对应的Malliavin分析 |
| 第三章 带马氏链的倒向随机微分方程及其对应的偏微分方程 |
| §3.1 问题描述 |
| §3.2 偏微分方程的光滑解 |
| §3.2.1 BSDEM解关于参数的连续依赖性 |
| §3.2.2 偏微分方程的光滑解 |
| §3.3 泛函Lipschitz条件下PDE的Sobolev弱解的概率解释 |
| §3.3.1 泛函Lipschitz条件下BSDEM解的存在唯一性 |
| §3.3.2 PDE的Sobolev弱解 |
| 第四章 带马氏链的倒向双重随机微分方程 |
| §4.1 问题描述 |
| §4.2 Lipschitz条件下BDSDEM解的存在唯一性 |
| §4.3 单调条件下BDSDEM解的存在唯一性 |
| §4.4 比较定理 |
| §4.5 局部单调条件下BDSDEM解的存在唯一性 |
| 第五章 随机偏微分方程的经典解与Sobolev弱解 |
| §5.1 问题描述 |
| §5.2 BDSDEM的解关于参数的光滑性 |
| §5.3 对应SPDE的光滑解 |
| §5.4 泛函Lipschitz条件下BDSDEM解的存在唯一性 |
| §5.5 SPDE的Sobolev弱解 |
| §5.6 SPDE的数值解 |
| §5.6.1 数值方法 |
| §5.6.2 数值结果 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表及完成的论文 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（8）基于小波和变分PDE的图像建模理论、算法及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 小波分析的发展历史和现状 |
| 1.2 变分PDE在图像处理中的发展历史及主要模型 |
| 1.2.1 变分PDE方法的提出 |
| 1.2.2 变分PDE在图像处理中的发展历史 |
| 1.2.3 变分PDE在图像处理中的主要模型 |
| 1.3 论文所做的工作和文章结构 |
| 1.3.1 论文的主要工作 |
| 1.3.2 论文的具体章节和内容安排 |
| 第二章 图像恢复中TV变分模型的研究 |
| 2.1 TV变分模型在图像恢复中的研究现状 |
| 2.2 基于TV和各向异性扩散方程的图像恢复模型 |
| 2.2.1 “纯粹的”各向异性扩散方程 |
| 2.2.2 新模型的提出 |
| 2.2.3 新模型的离散格式 |
| 2.2.4 实验仿真 |
| 2.3 用于TV图像去噪的小波方法 |
| 2.3.1 基于小波空间的TV图像去噪模型 |
| 2.3.2 新模型的解存在性定理 |
| 2.3.3 实验仿真 |
| 2.4 基于小波空间的图像恢复变分模型 |
| 2.4.1 主要思想 |
| 2.4.2 新方法的描述 |
| 2.4.3 解的存在性定理 |
| 2.4.4 算法 |
| 2.4.5 数值实验 |
| 2.5 小结 |
| 第三章 Besov空间中的变分模型 |
| 3.1 研究背景 |
| 3.1.1 Besov空间的描述 |
| 3.1.2 变分PDE在图像分解中的研究现状 |
| 3.2 一类基于Besov 空间与负Hilbert-Sobolev 空间的变分模型 |
| 3.2.1 主要思想 |
| 3.2.2 新变分模型的极小化 |
| 3.2.3 新变分模型的解与小波阈值之间的关系 |
| 3.2.4 实验仿真 |
| 3.3 基于投影的图像分解变分模型 |
| 3.3.1 新变分模型的极小化 |
| 3.3.2 小波阈值与投影之间的关系 |
| 3.3.3 实验仿真 |
| 3.4 一类基于Besov 空间与齐次Besov空间的变分模型 |
| 3.4.1 (B_(1,1)~S,E,)模型 |
| 3.4.2 (?)模型 |
| 3.4.3 (?) 模型 |
| 3.4.4 算法 |
| 3.4.5 算法的收敛性分析 |
| 3.4.6 实验仿真 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 迭代正则化、逆尺度空间与图像多尺度表示方法 |
| 4.1 基于VO变分模型的迭代正则化 |
| 4.1.1 基于ROF变分模型的迭代正则化(OBG模型) |
| 4.1.2 基于VO变分模型的迭代正则化 |
| 4.1.3 数值离散 |
| 4.1.4 实验仿真 |
| 4.2 基于平移不变小波阈值的迭代正则化与逆尺度空间方法 |
| 4.2.1 Xu方法的介绍 |
| 0 )中的推广'>4.2.2 Xu迭代正则化方法在Besov空间B_(1,1)~α ( Ω) (α> 0 )中的推广 |
| 4.2.3 基于平移不变小波变换的非线性逆尺度空间 |
| 4.2.4 实验仿真 |
| 4.3 基于(BV,H~(-1))等级分解的图像多尺度表示方法 |
| 4.3.1 中间空间的介绍 |
| 4.3.2 基于(BV,H~(-1))等级分解的图像多尺度表示 |
| 4.3.3 新方法的相关数学性质 |
| 4.3.4 新方法的数值离散 |
| 4.3.5 实验仿真 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 基于半二次规整化的图像分解与边缘提取变分模型和基于小波投影的图像放大变分模型 |
| 5.1 背景介绍 |
| 5.1.1 图像分解变分模型 |
| 5.1.2 模型(5-1)的优化策略 |
| 5.1.3 半二次规整化的基本原理 |
| 5.2 耦合边缘提取的图像分解变分模型 |
| 5.2.1 新模型的描述 |
| 5.2.2 新模型的数值离散 |
| 5.2.3 实验仿真 |
| 5.3 基于小波投影的图像放大变分模型 |
| 5.3.1 Chambolle模型 |
| 5.3.2 新模型的描述 |
| 5.3.3 有关新模型的实例 |
| 5.3.4 算法 |
| 5.3.5 实验仿真 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表(录用)论文和科研情况 |
（9）几类Schr?dinger-Poisson系统解的存在性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 一类带有Hardy项的Schr?dinger-Poisson系统非平凡解的存在性 |
| §1.1 引言 |
| §1.2 准备知识 |
| §1.3 定理的证明 |
| 第二章 带有临界指数的Schr?dinger-Poisson系统解的多重性 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 准备知识 |
| §2.3 定理的证明 |
| 第三章 带有临界和超临界非线性项的Schr?dinger-Poisson系统基态解的存在性 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 准备知识 |
| §3.3 山路能量水平的估计 |
| §3.4 定理的证明 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 研究成果 |
| 致谢 |
| 个人简况及联系方式 |
（10）含旋度算子的变分问题及偏微分方程组（论文提纲范文）
| 摘要 |
| 0.1 中文摘要 |
| 0.2 ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 扩展的静磁场Born-Infeld模型 |
| 1.1.1 物理背景及前人工作 |
| 1.1.2 研究的问题 |
| 1.1.3 主要结果 |
| 1.2 q-curl curl拟线性方程组 |
| 1.2.1 前人工作 |
| 1.2.2 研究的问题 |
| 1.2.3 主要结果 |
| 第2章 文献综述及预备知识 |
| 2.1 文献综述 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.2.1 向量场空间 |
| 2.2.2 弱解的定义 |
| 第3章 扩展的静磁场Born-Infeld模型 |
| 3.1 方法框架 |
| 3.2 有界域Born-Infeld模型解的平凡性 |
| 3.3 修改泛函主项 |
| 3.4 含凸低阶项泛函的极小问题 |
| 3.4.1 泛函S_K~+极小元的存在性 |
| 3.4.2 泛函S_K~+极小元的估计 |
| 3.5 含凹低阶项泛函的变分问题 |
| 3.5.1 截断泛函S_(K,G)~-临界点的存在性 |
| 3.5.2 截断泛函S_(K,G)~-临界点的估计 |
| 3.5.3 小边值时临界点的估计 |
| 第4章 q-curl curl拟线性方程组 |
| 4.1 方法框架 |
| 4.1.1 Dirichlet边值问题 |
| 4.1.2 Neumann边值问题 |
| 4.2 Dirichlet边值问题：凸低阶项 |
| 4.2.1 (?)~(q,p)(Ω,curl)中的极小元 |
| 4.2.2 Sobolev空间中的极小元 |
| 4.3 Dirichlet边值问题：凹低阶项 |
| 4.3.1 截断泛函Q_G~-云临界点的存在性 |
| 4.3.2 弱解的H~2+H~1正则性 |
| 4.4 Neumann边值问题：凸低阶项 |
| 4.5 Neumann边值问题：凹低阶项 |
| 4.5.1 泛函F~c的极小问题 |
| 4.5.2 截断泛函H_G~-云的极小问题 |
| 4.6 弱解内部正则性：Dirichlet边值问题 |
| 4.6.1 方程转化 |
| 4.6.2 含平移项的q~1-Laplace方程的估计 |
| 4.6.3 含平移项的p-growth方程的估计 |
| 第B章 记号 |
| 第C章 读博期间完成的论文 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
四、Sobolev空间的K泛函（论文参考文献）
- [1]带多个全特征退化方向的椭圆边值问题以及演化方程的若干研究[D]. 田书英. 武汉大学, 2015(07)
- [2]时标上的共形分数阶Sobolev空间及其在变分方法中的应用[D]. 王艳宁. 云南大学, 2016(01)
- [3]随机偏微分方程在大地边值问题中的应用[D]. 邓波. 武汉大学, 2004(11)
- [4]变指数微分形式空间及其应用[D]. 郭立丰. 哈尔滨工业大学, 2013(01)
- [5]关于一些非线性椭圆型方程及方程组非平凡解的存在性研究[D]. 叶红雨. 华中师范大学, 2014(08)
- [6]几类椭圆边值问题正解的存在性和多重性[D]. 廖家锋. 西南大学, 2016(01)
- [7]带马氏链的倒向（双重）随机微分方程及其对应的（随机）偏微方程问题研究[D]. 马宁. 山东大学, 2021(10)
- [8]基于小波和变分PDE的图像建模理论、算法及应用[D]. 李敏. 西安电子科技大学, 2008(12)
- [9]几类Schr?dinger-Poisson系统解的存在性[D]. 谷花. 山西大学, 2019(01)
- [10]含旋度算子的变分问题及偏微分方程组[D]. 陈隽. 华东师范大学, 2013(02)