一、一类三阶变系数线性系统的解（论文文献综述）
赵健博[1]（2021）在《光纤通信中高阶非线性薛定谔模型的解析研究》文中指出生活中存在了很多复杂的非线性现象,研究这些非线性的情况可以更好的推动科学技术的发展,现阶段有关非线性主要的研究方向是孤子、混沌和分形。在1970年后,孤子受到了广泛的关注与研究,由于孤子具有保持形状不变的情况下进行长距离传输通信,所以它在光纤通信领域有很大的研究价值。非线性薛定谔方程是非线性中的一个很重要的模型,它能够很好地描述光学、等离子物理、光通信等领域的一些非线性情况,随着研究的逐步深入,呈现了很多高阶的非线性现象,所以,对于研究高阶的非线性薛定谔方程无论在理论层面还是实际应用都有着很大的意义。本文的研究内容主要是利用Hirota双线性法进行求解几种高阶的非线性薛定谔方程模型的孤子解,然后通过绘制图像来直观讨论分析孤子之间的相互作用。本论文内容包括:（1）本文先介绍了有关非线性科学的一些背景和非线性的模型,接着介绍了有关孤子理论的一些发展历史和当今的研究状况,最后对光孤子进行了具体的介绍。（2）介绍了一些用来求解非线性方程的常用方法,首先简单介绍了逆散射方法,Backlund变换法,达布变换法,painleve分析法,接下来详细的介绍了本文将使用的Hirota双线性法,包括它的原理和一些变换方式等。（3）选定模型为四阶的变系数非线性薛定谔方程,来探究光脉冲在非均匀光纤中传播时孤子的一些情况,利用Hirota双线性法进行解析求解,得到暗三孤子解,基于得到的解,探讨孤子的传输情况以及相互作用的情况。通过选择一些合适的参数,可以得到一些孤子的特性。主要提出了更改色散系数,可以得到周期性的传输情况,并通过控制参数可以控制幅度。此外,还提出了一种V形孤子图,并通过控制参数可以实现传输方向的改变。而且还研究了暗孤子的正面碰撞和超车碰撞的一些情况,这些研究成果可能对全光开关的研究有参考价值。（4）选定模型为一个五阶的非线性薛定谔方程,通过Hirota双线性法进行解析求解,来求得明单孤子解和明双孤子解。经过控制参数,我们能够得到一些孤子之间的一些特性。在研究单孤子时,通过控制参数,可以实现控制孤子的幅度和强度。在研究双孤子时,可以得到一定的孤子传输的周期性,两个碰撞的孤子之间彼此吸引而后排斥,孤子的传输方向和孤子之间的相互作用强度可以利用参数来改变,这些结果或许对光路控制的应用有些参考价值。（5）选定模型为一个五阶的非线性薛定谔方程,通过Hirota双线性方法进行解析求解,获得了该方程的明三孤子解,并探讨了一些孤子传输时发生的相互作用的情形。通过控制参数,我们可以控制孤子脉冲的振幅,孤子之间的相互作用进而也会发生变化,而且孤子传输具有一定的周期性。还讨论了有关孤子的一些融合的现象,通过选择合适的参数,可以看到两个孤子融合为一个孤子进行传输,这些结果将有助于光开关和光纤激光器的一些应用。
薛瑞荣[2]（2021）在《饱和非均匀光纤中啁啾孤子的频谱和自相似子的传输》文中提出光孤子作为大容量、长距离光传输系统的最佳信息载体之一,在光通信中占有重要的地位。随着非线性材料科学的发展,高脉冲功率下稳定性强的自相似子也成为了学术界研究的热点之一。此外,对于超短脉冲,随着脉冲强度增加,除了群速度色散和三次非线性效应,饱和非线性效应以及一些高阶效应如三阶色散、拉曼效应、自陡峭也需要考虑。考虑到实际中光纤的非均匀性,描述孤子和自相似子在光纤中传输的理论模型修改为三次-五次高阶变系数非线性薛定谔方程。高阶效应通常会导致脉冲的畸变,从而会使脉冲产生新的频谱分量,因此研究孤子频谱具有重要的意义。另一方面,针对不同的理论模型求解精确的自相似子解是研究自相似子的一个重要方向,针对精确自相似子解的研究有助于发现不同系统中自相似子的新的特征,可以为实验中自相似子的传输和控制提供一定的理论基础。本文基于包含拉曼效应和外势的三次-五次变系数高阶非线性薛定谔方程,研究了饱和非均匀光纤中啁啾孤子的频谱演化特性;并通过隐对称约化法得到了两种新的亮自相似子和一种扭结自相似子解,研究了色散渐减非均匀光纤中自相似子的传输特性。主要研究内容如下:1.简单介绍了光孤子研究背景及现状、饱和非均匀光纤中的光孤子以及自相似子的研究现状。2.基于包含拉曼效应的三次-五次变系数非线性薛定谔方程的啁啾孤子解,分析了饱和非均匀光纤系统中周期色散分布的啁啾单和双孤子的频谱演化特性。研究结果表明,在均匀光纤中,高阶效应使无啁啾的单孤子频谱发生红移且频谱的高频侧出现旁瓣;相对于单孤子,平行演化和相互碰撞的双孤子的频谱均会产生分裂,而高阶效应会加剧双孤子频谱的分裂。在周期色散分布光纤中,啁啾参数周期性的变化导致单孤子的脉宽和频谱周期性地被压缩和展宽,而对于双孤子,在碰撞时其频谱出现极大展宽,啁啾使准平行传输和相互碰撞的双孤子在相互靠近时的频谱发生蓝移,而高阶效应使其频谱发生红移。研究结果对研究超快光通信系统中高功率信号的频谱特性具有重要的意义。3.基于饱和非均匀光纤中包含外势的三次-五次变系数非线性薛定谔方程,采用隐对称约化法得到了该方程两种新的亮自相似子和一个扭结自相似子解,基于所得到的自相似子解,研究了色散渐减光纤系统中亮和扭结自相似子的传输特性。研究结果发现,通过选择合适的系统参数以及自相似子参数,可以控制自相似子的脉宽、幅度、轨迹以及速度。研究结果有望为研究远距离超高速光通信系统中高功率脉冲的传输以及光脉冲的压缩提供理论依据。4.对全文进行总结,并对下一步的工作进行展望。
刘素芝[3]（2021）在《高维非线性系统解析解的研究与应用》文中研究说明有关于非线性偏微分方程（PDE）研究可以被用在光信息传输、等离子体物理、玻色-爱因斯坦凝聚和流体力学等领域。而非线性薛定谔方程作为偏微分方程中至关重要的分支之一,对其孤子解析解的结构和性质进行研究与分析,是我们所要完成的主要任务。本文的主要技术路线是以Hirota双线性方法为核心,通过有理变换等形式且结合D算子的相关性质完成从非线性到两个或多个线性形式的转换,去求得孤子的解析解,并对孤子传输特性作进一步分析。以色散渐变光纤为模型,从（1+1）维方程模型入手,求得孤子的双孤子、三孤子解析解。再研究孤子在（2+1）维方程模型中孤子的传输路径,忽略方程中各向异性的因素,求双孤子解析解,并分析解的结构和性质。结果表明孤子在两种形式下选取色散项为高斯函数时,孤子传输较为稳定,通过调整高斯项中某些系数的取值,孤子的相移均能够得到更好的控制,但在（2+1）维形式下,原点附近处的孤子传输幅度会发生骤减,呈现“圆形凹谷”形态,的大小,这种情况可以通过调整高斯项中的系数得到明显得改善,孤子由原来的“截断”式传输变得逐渐均匀与平滑,孤子间的相互作用能够得到显着的削弱。以上研究结果在光纤传输机制与应用上有着一定帮助。以一个高阶的非线性薛定谔方程为研究模型,令γ=0,求得模型的单孤子、双孤子以及三孤子解。基于以上解研究当奇数阶色散项作用时孤子在传输距离和时间上的变化。研究结果表明随着五阶色散与三阶色散之间约束值的改变,孤子的传输方向也会发生变化,随着约束值的增大,孤子间的内聚性得到增强。此外,研究了非线性项对孤子相互作用的影响,对孤子束缚结及周期变化规律总结出了三种不同的孤子动力学特征,以上研究成果不仅对在光学领域上的应用有一定的帮助,而且对于非线性系统中的模糊自适应控制也有着指导价值。在以上高阶模型基础上令α=δ=0,进一步转换为目前现有的变系数（2+1）维塰瑟堡铁磁自旋链的可积模型,求取双孤子解析解,研究分析了多种孤子同时传输时由于孤子间排斥和吸引所造成的不同传输形态,发现对于色散项和非线性项的改变影响着孤子相互作用形态的变化,调整色散项与非线性项之间的约束值,孤子的内聚性得到增强,相移发生变化。此外,对非线性项的值做有效调整,孤子的相互作用得到明显削弱,可实现长距离稳定传输。以上研究结果进一步丰富与深化了目前塰瑟堡铁磁自旋链模型。
王恺鹏[4]（2021）在《偏微分方程大时间步长格式的研究及基于急诊数据的危重症预测的建模与评估》文中指出本文主要开展时间依赖偏微分方程的大时间步长的数值格式设计与研究;以及急诊医学数据的预测研究。在大时间步长格式研究方面,针对Vlasov-Poisson方程组和非线性抛物方程,我们分别设计了具有大时间步长的显式格式,并进行了分析研究。首先,我们设计了一类基于转秩直线法（MOLT）的新型混合埃尔米特本质加权无震荡（HWENO）格式用于近似一维线性传输方程和Vlasov-Poisson方程组。在MOLT的框架下,我们先进行隐式时间离散,得到离散时间层的边值问题,然后对此边值问题给出具有积分形式的显式解。在这里,我们在MOLT框架下构建HWENO方法,即同时更新方程的解和一阶空间导数,并用于近似积分。这个新提出的MOLT-HWENO方法主要有三个优点。第一,虽然该格式可以使用隐式时间离散的大时间步长,但是无需求解方程组。第二,HWENO格式的模版比具有相同精度的WENO格式更加紧凑。第三,该方法可以自适应的选取线性格式或者HWENO格式,即格式在间断解附件自动的选取HWENO方法以避免数值震荡,而在光滑解区域使用效率更高的线性格式。因此,MOLT-HWENO格式有更高的计算效率,同时,在光滑解附近又有较小的计算误差和计算量。此外,针对变系数非线性抛物方程,我们设计的一类高阶精度的基于核函数的显式无条件稳定格式。对此,我们设计的新型的基于核函数的表达式近似空间导数,然后结合显式龙格-库塔时间离散方法,近似非线性抛物方程。我们给出的理论分析表明,该方法通过选取合适的变量可以达到高阶精度和无条件稳定的性质。因此,对比具有相同精度的其他显式格式,该方法可以使用大时间步长,进而提高计算效率。另外,该方法扩大了变量的合理选取范围,所以在不增加计算量的基础上,可以减小计算误差、提高计算效率。在数据分析方面,本文基于中国科学技术大学第一附属医院急救中心的急诊医学数据,建立了较为规范、系统、便于进行数据分析的急诊医学数据库。我们在该数据库的基础上,用多元逻辑回归模型开展了预测研究,并对不同的模型进行了评估。结果表明,多元逻辑回归模型的AUC值的置信区间下界远大于0.5,即在统计意义下,模型是有实用价值的。同时,在模型的预测概率<60%时,预测概率与实际概率是一致的。
高俊磊[5]（2021）在《二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析》文中研究指明本文用数学方法研究亚音速流与跨音激波的稳定性.我们在二维直管道中,分别考虑热交换效应对跨音激波稳定性的影响,以及带添质效应亚音速流的稳定性.本文首先研究二维管道中热交换效应对跨音激波稳定性的影响.跨音激波在超音速喷管的气动设计中起着至关重要的作用.以往的研究表明,对于恒定截面直管道中的定常可压缩Euler流,在对管道进口处的超音速来流和出口处压强的扰动下,得到的跨音激波是不稳定的.但是在物理实验中观察到的跨音激波却是稳定的.若将直管道改换成扩张形或在流动过程中考虑摩擦力的影响,则按照上述方式扰动下的跨音激波却有稳定性.我们以瑞利流1为模型,进一步探究在二维直管道中具有热交换效应的定常可压缩Euler流,在上述扰动下的跨音激波是否也具有稳定性?我们证明了对于给定单位质量气体的热交换,当上游管道进口处超音速来流和下游出口处压强的扰动满足一定的对称条件时,可以得到几乎所有对应的一维跨音激波都是稳定的,而对于给定单位体积气体的热交换,由此确定的一维跨音激波是不稳定的.数学上,我们研究了双曲-椭圆复合型守恒律方程组的非线性自由边界问题.通过特征分解将亚音速Euler系统的椭圆部分和双曲部分在Lagrange坐标系中解耦.由于热交换效应在流场中具有更加复杂的相互作用,我们通过Fourier分析和对常微分方程边值问题的细致分析,研究了一类具有非局部边界条件的较一般的线性变系数一阶椭圆双曲强耦合系统的适定性.本文还研究二维直管道中具有添质效应亚音速流的稳定性.研究添质问题的目的是为了进一步探究在对管道进口处的超音速来流和出口处压强的扰动下,添质效应对跨音激波是否也具有稳定性做准备工作.我们在二维等截面直管道中构建一类只依赖管道轴向x的亚音速特解,通过证明这种特殊的亚音速流关于进出口适当边界条件的二维扰动的亚音速解的稳定性,表明该边值问题提法的合理性.由于亚音速Euler方程组是拟线性椭圆-双曲复合型的,处理这类问题一般的方法是将方程组的椭圆与双曲模式分离.然而,在添质问题中的质量守恒方程含有源项,导致通常在二维情形采用Lagrange坐标变换和特征分解将椭圆与双曲模式分离的办法失效.为此,我们构建了一种新的将Euler方程组的椭圆模式与双曲模式主部分离,低阶项耦合的分解方式.由于添质效应使得流场具有更强的相互作用,进而诱导了一类含有多个积分非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题.我们综合利用Fourier分析、线性代数、解析函数理论和二阶椭圆型方程正则性理论,得到了该类问题的适定性.特别地,我们在一类x向异性Holder空间与通常的Holder空间中分别研究输运方程组与二阶椭圆方程型的正则性,并以此为基础设计非线性迭代格式,得到的所有物理量具有一样的正则性.下面简单介绍本文的结构安排.第一章是绪论,介绍本文的研究背景,提出了本文关心的问题以及主要结果.在第二章,给出了本文所需要的一些基础知识.在第三章,利用隐函数定理分别构造一维情形瑞利流的亚音速、超音速、跨音激波特解和添质问题的亚音速特解.在第四章,我们在第4.1节将原问题在Lagrange坐标中重新表述,通过线性化将其转化成一个具有非局部边界条件的一阶线性双曲-椭圆耦合型方程组固定边界问题和一个用于更新激波形状的常微分方程Cauch场问题.第4.2节,研究一类具有非局部边界条件的一阶线性双曲-椭圆耦合型方程组的适定性.在第4.3节中,构造非线性映射,通过映射压缩性来证明本文第一个主要结果.在第五章,我们在第5.1节,给出了带添质效应的Euler方程组在二维管道中的一个新的等价分解方式,其中包括熵与总焓的输运方程组Cauchy问题、压强满足的二阶椭圆型方程混合边值问题和切向速度在任意截面上沿着y轴方向的常微分方程两点边值问题.在第5.2节,由新的分解方式得到的方程与边界条件分别在背景解处作线性化,得到对应的线性化问题.在第5.3节,给出了三类典型问题——沿着x轴方向的变系数输运方程组Cauchy问题,具有多个积分型非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题和任意截面上沿着y轴方向的常分方程两点边值问题解的适定性与正则性定理.在第5.4节,证明具有添质效应的亚音速流的稳定性,完成本文第二个主要结果的证明.第六章包含了本文所用数学工具的细节.在第6.1节,证明了线性常微分方程组在Holder空间中解的正则性.在第6.2节,给出了x向异性Holder空间的一些性质.在第6.3节,给出了输运方程组在x向异性Holder空间中解的适定性定理的证明.第七章是对后续工作的设想.
陈勋[6]（2021）在《高阶精度WCNS方法及其应用》文中指出流体力学控制方程的高精度高分辨率数值方法已成为计算流体力学（CFD）技术发展中的一个决定性因素。本文结合显式和半隐式（Implicit-Explicit）Runge-Kutta时间推进方法,设计了一系列显式和半隐式高阶精度WCNS格式,并用于求解污染输运、稳态双曲守恒律、刚性偏微分方程等问题。空间离散方法采用高阶精度WCNS格式。为了提高计算效率,对于含刚性项的方程（组）,非刚性项和刚性项分别采用显式和隐式时间离散方法。半隐式高阶精度WCNS格式产生的线性方程组采用基于Krylov子空间的GMRES算法求解。本文设计的显式和半隐式高阶精度WCNS格式用于求解以下几个问题:针对含源项的污染输运模型,为使算法具有保持静水定常解的和谐性（即非零流通量梯度与源项精确平衡）,将该方程组源项进行分裂处理。流通量梯度与源项中的空间导数采用五阶hybrid WCNS格式计算,时间离散采用三阶显式TVD Runge-Kutta方法计算。数值算例结果表明,在静水条件下该算法满足和谐性,在光滑区可获得高精度,在模拟溃坝波等问题时稳定性好、分辨率高和激波捕捉能力强。针对稳态双曲守恒律问题,引入伪时间导数,采用三阶显式TVD Runge-Kutta方法计算,空间离散采用三阶显式WCNS格式计算。为提高计算效率,结合快速扫描方法,设计了快速扫描WCNS格式。快速扫描方法的核心思想是利用交替扫描顺序和Gauss-Seidel型迭代方法求解空间离散化后的非线性方程组。相比于传统的不动点迭代方法,该方法不是从单一方向而是从四个方向推进计算。数值算例结果表明,快速扫描WCNS格式精度高,相比显式TVD Runge-Kutta WCNS格式,可以减少迭代次数,降低CPU时间,同时具有很强的激波捕捉能力。针对粘性Burgers方程,粘性项具有刚性,设计了三阶半隐式WCNS格式,对流项和粘性项分别显式和隐式处理。相比时间步长受限于抛物型CFL稳定性条件的三阶显式TVD Runge-Kutta WCNS格式,三阶半隐式WCNS格式时间步长仅受限于对流型CFL稳定性条件。方程流通量离散采用五阶显式WCNS格式,时间离散采用三阶IMEX Runge-Kutta方法。通过理论分析,给出了半隐式WCNS格式的稳定性条件。数值结果表明三阶半隐式WCNS格式时间精度高,在同等条件下比三阶显式WCNS格式计算效率高,且具有很强激波捕捉能力。针对可压缩Euler方程组,压力项具有刚性,设计了三阶半隐式WCNS格式,对流项和压力项分别显式和隐式处理。三阶半隐式WCNS格式时间步长仅受限于对流型CFL稳定性条件,在低Mach数条件下,比时间步长受限于声波型CFL稳定性条件的三阶显式TVD Runge-Kutta WCNS格式计算效率高。数值结果表明,三阶半隐式WCNS格式时间精度高,激波捕捉能力强。
袁翠连[7]（2021）在《几类自对偶网络方程的可积性及解析研究》文中研究说明近年来许多学者的研究逐渐从连续可积系统转变为离散可积系统,非线性微分差分方程作为非线性偏微分方程的空间离散形式,可以被用来描述许多特定的物理现象,非线性自对偶网络方程是描述电子电路中电信号传输的重要离散模型,因此研究与非线性自对偶网络方程相关的可积性质和解析解对解释电路中电信号的传输具有重要的理论意义。本文以2×2矩阵谱问题意义下的Lax可积为主线,通过零曲率方程方法研究了几类与非线性自对偶网络方程相关的离散方程的的可积性质和精确解析解及其动力学行为。具体的研究内容主要包括以下两个方面:（1）研究4类非线性自对偶网络方程的可积性质和解析解以及相关的调制不稳定性,首先基于已知的线性谱问题的空间部分,利用零曲率方程方法研究了与它们相关的方程族梯队,Lax对和无穷守恒律等可积性质,然后基于获得的新Lax对,构造出4类方程的离散N-波达布变换和广义（m,N-m）-波达布变换,得到了孤子、有理孤子和半有理孤子以及不同类型孤子的混合作用结构,通过对解的表达式进行渐近分析讨论了孤子碰撞前后的渐近状态表达式,分析了有理孤子解的数学特征,借助计算机符号软件Maple作图分析研究了孤子的结构和作用现象,并借助Matlab进行数值模拟讨论了孤子解的动力学演化和传播稳定性;（2）研究了与非线性自对偶网络方程相关的Toda类型的晶格方程即修正指数Toda晶格方程的可积性和解析解以及动力学行为,首先基于已知的线性谱问题的空间部分,利用屠格式方法给出了相关的方程族梯队,Hamiltonian结构、Liouville可积以及无穷守恒律等可积性质,然后基于获得的新的Lax对,构造出修正指数Toda晶格方程的离散广义（m,N-m）-波达布变换,得到了孤子解、有理解和半有理解以及混合作用解等不同类型的解析解,通过渐近分析研究了这些解的渐近状态表达式,讨论了有理解的数学特征,并借助计算机软件Maple和Matlab通过图像分析和数值模拟讨论了孤子解的弹性作用现象和传播稳定性,特别是发现了该离散方程在倾斜平面背景上的扭型多孤子解及弹性作用现象。
蹇焕燕[8]（2021）在《几类分数阶微分方程的快速数值算法研究》文中提出分数阶方程作为整数阶方程的推广,近年来被广泛用于建模各种物理和科学现象。由于分数阶算子的非局部性,分数阶模型能更精确地描述具有遗传和记忆性质的材料和过程。大多数分数阶方程的解析解都不易确定,所以一般研究其数值方法。此外,分数阶算子的离散通常导出稠密矩阵,这也造成了极大计算困难。因此,发展其高性能算法也是十分迫切的。本文工作主要分为以下四个方面:1.针对时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程,提出了一个快速隐式差分格式。首先通过数值积分,将该方程转换为一个多项时空分数阶方程。然后提出一个隐式差分格式来求解这个多项时空分数阶方程,并讨论它的无条件稳定性和收敛性。另外,发展了预处理的Krylov子空间算法来计算导出的Toeplitz-like线性系统。最后数值实验结果支持了理论发现,并验证了算法的有效性。2.针对时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程,建立了一个快速二阶差分格式。利用加权位移Gr¨unwald公式离散时间导数和分数阶中心差分公式离散空间导数,从而导出差分格式。另证明了该格式在时间、空间和分布阶上的稳定收敛性。一维时,提出基于Gohberg-Semencul公式的预处理Krylov子空间算法来计算Toeplitz系统。二维时,构建带截断预处理子的全局预处理共轭梯度法来求解Sylvester系统。数值实验结果验证了提出差分格式和快速算法的有效性。3.针对非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,发展了一个快速隐式积分因子方法。首先利用分数阶中心差分公式空间离散该方程,得到一个非线性常微分方程系统。其次,为获得良好的稳定性和鲁棒性,采用隐式积分因子方法求解该系统。另外,为了降低计算量,考虑到系数矩阵是对称正定Toeplitz的,提出了基于Gohberg-Semencul公式的位移-逆Lanczos方法来计算指数矩阵-向量乘积。最后用数值实验证实了理论结果的正确性,并验证了快速求解算法的有效性。4.针对二维的非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,提出了一个非均匀网格的快速紧隐式积分因子方法。利用加权位移Gr¨unwald-Letnikov方法对该方程空间离散后,得到一个矩阵形式的非线性常微分方程系统。鉴于紧隐式积分因子方法的稳定性,将其与非均匀时间网格和对角化技术结合,构建了一种非均匀时间网格的快速紧隐式积分因子方法。与已有方法相比,该方法避免了直接计算稠密指数矩阵并显着降低了计算成本。数值实验也验证了提出方法的有效性。
洪雪[9]（2021）在《拉格朗日-欧拉框架下间断有限元方法的分析及其应用》文中认为本文的主要工作是发展和分析了求解时间依赖的偏微分方程的两种欧拉-拉格朗日框架下的移动网格间断有限元方法。其中一种是任意拉格朗日-欧拉间断有限元（arbitrary Lagrangian-Eulerian discontinuous Galerkin,ALE-DG）方法,它可以耦合自适应网格方法来抓住局部解的性质,也可以减少数值耗散,提高精确度。这里,我们对带δ奇异性的双曲型方程和KdV方程等在移动网格上应用ALE-DG方法,给出了稳定性分析及误差证明。另一种移动网格方法是近似追踪特征线来实现相对大的时间步长,我们提出了推广的欧拉-拉格朗日间断有限元（generalized Eulerian-Lagrangian discontinuous Galerkin,GEL-DG）方法,并将它应用到标量传输方程上以获得大时间步长,后面我们也会将它应用到方程组的情况。本文研究主要分为三个部分。第一部分,我们发展和分析了 ALE-DG方法,用于在移动网格上求解一维带δ奇异性的双曲型方程。对于ALE-DG近似解,我们证明了 L2模和负模误差估计。更精确地,当选择分片k次多项式的近似空间时,如果格式里选择迎风数值通量,我们可以得到去除奇异点的光滑区域里的k+1阶L2模误差估计;如果格式里选择单调数值通量,我们可以得到整个区域里的k阶H-（k+1）负模误差估计;如果格式里选择迎风数值通量时,我们可以得到整个区域里的（k+1/2）阶H-（k+2）负模误差估计及去掉污染域RT后的光滑区域里的（2k+1）阶H-（k+1）（RRT）负模误差估计。此外,我们在数值上可以获得光滑区域中对后处理解的2k+1阶精度,这里后处理解指的是将ALE-DG解与一个由B样条组成的合适的核函数卷积而产生的新的近似解。数值例子说明了 ALE-DG方法在运动网格上对带有δ奇异性的双曲方程求解的准确性和高效性。在第二部分中,针对运动网格上的Korteweg-deVries（KdV）型方程,我们提出了几种ALE-DG方法。基于KdV方程的L2守恒量,对非线性对流项和线性色散项分别采用守恒的和耗散的数值通量,我们设计了一种守恒的和三种耗散的ALE-DG格式。本文给出并证明了守恒格式的守恒性和其他三种耗散格式的相应的耗散性。另外,我们也证明了两种方案的L2范数的误差估计,这两种格式的线性色散项的数值通量均为耗散型。更精确地,当选择分片k次多项式的近似空间时,对非线性对流项采用守恒的数值通量的格式,我们可以得到k阶L2模误差估计。此外,对于对流项采用耗散数值通量的ALE-DG格式,可以证明其精度为（k+1/2）阶。此外,基于KdV方程本身的哈密顿守恒性,我们也提出了哈密顿守恒的ALE-DG格式。在我们的数值算例中,通过与固定网格上的DG格式对比,我们展示了移动网格ALE-DG格式的准确性和高效性。在第三部分中,我们提出了 GEL-DG方法。该方法是针对传输问题的欧拉-拉格朗日间断有限元（Eulerian-Lagrangian discontinuous Galerkin,EL-DG）方法的推广,该方法近似沿特征线追踪解,从而允许较大的时间步长和稳定性。我们新提出的GEL-DG方法是为了求解变系数线性双曲系统,其中将测试函数的伴随问题的速度场固定为常数。在简化的标量情况下,通过固定伴随问题的速度场,并且在线性近似特征线得到的时空划分区域上构造半离散格式来得到GEL-DG方法。这里全离散格式通过Runge-Kutta（RK）方法得到。我们进一步为GEL-DG方法设计了通量限制器,以满足离散几何守恒定律和保最值性。最后,我们给出了关于一维和二维线性传输问题的数值结果,以证明GEL-DG方法的优越性,包括高阶的时空精度,具有较大步长的稳定性以及满足离散几何守恒定律和保最值性。
信鑫[10]（2021）在《广田双线性方法与非线性发展方程的复合型解研究》文中研究说明孤立子理论的研究内容主要分为以下几大类。建立比较准确的数学模型;给出一般意义的求解模式;给出微分系统的可积性;微分系统的对称和守恒量;微分系统的哈密顿结构;微分系统的动力学行为;研究解的代数几何性质;稳定性和实际意义等性质。本文基于函数变换法、广田双线性法、试探函数法、分离变量法和辅助方程法,研究了（3+1）维Jimbo-Miwa-Like方程、（4+1）维BLMP方程和（3+1）维BKP方程等高维非线性发展方程的求解与分析解的性质等问题获得了新成果。具体研究工作如下:第一章简单回顾了孤立子理论的发展历史,这里包括孤立子的发现、几种求解方法的提出及其获得的成果和本文的主要工作的介绍。第二章基于广田双线性方法,首先将（3+1）维Jimbo-Miwa-Like方程和（3+1）维变系数BKP方程化为双线性微分方程,在此基础上应用试探函数法,得到了非线性发展方程新的复合型解。这里包括三角函数、双曲函数和指数函数三三组合的复合型解和两两组合的复合型的解。然后利用计算机代数系统分析了解的性质。第三章基于分离变量法,研究了构造（4+1）维变系数BLMP方程和（3+1）维孤子方程的新解问题。结果用几个任意函数和一阶线性偏微分方程的解来表示了两种高维非线性发展方程的解。根据任意函数的任意性和一阶线性偏微分方程的解构造了多种新解。（1）构造了（4+1）维变系数BLMP方程的新解。首先通过函数变换,能够将非线性发展方程转化为双线性形式;然后选择双线性方程的形式解,形式解中的两个函数是不同两个一阶线性偏微的解来确定,另几个函数是任意函数。最后根据形式解中任意函数的任意性,构造环形孤子解等多种新解,并借助符号计算系统Mathematica分析解的相互作用。（2）构造了（3+1）维孤子方程的新解。首先通过函数变换,将该方程转化为双线性形式;然后选择双线性方程的形式解,形式解中一个函数是一阶线性偏微的解来确定,另一个函数是由三阶线性偏微分方程的解来确定。其次用试探函数法得出一阶和三阶线性偏微分方程的解,并代入形式解构造了（3+1）维高维孤子方程的多种新解。最后借助符号计算系统Mathematica分析解的相互作用。第四章首先基于广田双线性方法,将（3+1）维变系数KP方程化为双线性形式。然后选择双线性方程的形式解,形式解中有几个函数是其变量的任意函数,两个函数由不同的第一种椭圆方程的解来确定。最后利用函数的任意性和第一种椭圆方程解的非线性叠加公式,构造了（3+1）维变系数KP方程的由有理函数、三角函数、双曲函数、指数函数、Jacobi椭圆函数和Riemannθ函数多种形式组合的复合型解。这里包括了双周期解、双孤子解、孤子解与周期解组合的解。最后分析了解的相互作用。
二、一类三阶变系数线性系统的解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一类三阶变系数线性系统的解（论文提纲范文）
（1）光纤通信中高阶非线性薛定谔模型的解析研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性科学 |
| 1.1.1 非线性科学的背景及研究意义 |
| 1.1.2 非线性模型 |
| 1.1.3 非线性薛定谔方程 |
| 1.2 孤子的背景和研究意义 |
| 1.2.1 孤立子 |
| 1.2.2 光孤子 |
| 1.2.3 光孤子的研究意义 |
| 1.3 孤子理论的应用与研究现状 |
| 1.4 研究内容和论文框架 |
| 第二章 孤子理论中的研究方法 |
| 2.1 求解孤子方程的常用方法 |
| 2.1.1 逆散射法 |
| 2.1.2 Backlund变换法 |
| 2.1.3 达布变换法 |
| 2.1.4 painleve分析法 |
| 2.2 HIROTA双线性法 |
| 2.2.1 双线性法的原理 |
| 2.2.2 双线性法的变换 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 四阶变系数非线性薛定谔方程的双孤子的相互作用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 方程的双线性形式及其孤子解 |
| 3.2.1 方程的双线性形式 |
| 3.2.2 方程的孤子解 |
| 3.3 孤子传输及其相互作用的分析 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 五阶变系数非线性薛定谔方程中的孤子解析研究 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 方程的双线性形式及其孤子解 |
| 4.2.1 双线性形式 |
| 4.2.2 单孤子解 |
| 4.2.3 双孤子解 |
| 4.3 孤子传输及相互作用的分析 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 五阶变系数非线性薛定谔方程三孤子研究 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 方程的双线性形式及其孤子解 |
| 5.2.1 双线性形式 |
| 5.2.2 三孤子解 |
| 5.3 孤子传输及其相互作用的分析 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表论文情况 |
（2）饱和非均匀光纤中啁啾孤子的频谱和自相似子的传输（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 光孤子研究背景及现状 |
| 1.1.1 光孤子 |
| 1.1.2 光孤子传输的理论模型 |
| 1.1.3 频谱分析方法 |
| 1.1.4 饱和非均匀光纤中光孤子的研究现状 |
| 1.2 自相似子及其研究现状 |
| 1.2.1 自相似子 |
| 1.2.2 自相似子的研究现状 |
| 1.3 本文主要研究内容 |
| 第二章 饱和非均匀光纤中啁啾孤子的频谱特性研究 |
| 2.1 理论模型 |
| 2.2 啁啾孤子的频谱演化特性 |
| 2.3 相互作用的啁啾孤子的频谱演化特性 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 饱和非均匀光纤系统中新型自相似子的传输特性 |
| 3.1 理论模型以及新的精确自相似子解 |
| 3.2 自相似子在色散渐减光纤中的动力学演化特性 |
| 3.2.1 线性外势对自相似子传输特性的影响 |
| 3.2.2 增益/损耗效应对自相似子传输特性的影响 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 全文总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
| 个人简况和联系方式 |
（3）高维非线性系统解析解的研究与应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 研究方法 |
| 1.3.1 Hirota双线性方法 |
| 1.3.2 Backlund变换 |
| 1.3.3 Darboux变换 |
| 1.3.4 KP约化方法 |
| 1.4 内容及结构安排 |
| 第二章 色散渐变光纤NLSE模型解析研究 |
| 2.1 (1+1)维NLSE解析解 |
| 2.1.1 背景介绍 |
| 2.1.2 双线性形式 |
| 2.1.3 孤子解 |
| 2.2 (2+1)维NLSE解析解 |
| 2.2.1 背景介绍 |
| 2.2.2 双线性形式 |
| 2.2.3 孤子解 |
| 2.3 两种类型下孤子图像与特征分析 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 高阶NLSE模型解析研究 |
| 3.1 背景介绍 |
| 3.2 双线性形式 |
| 3.3 孤子解 |
| 3.4 孤子动力学分析 |
| 3.5 本章小节 |
| 第四章 高阶变系数(2+1)维NLSE模型解析解研究 |
| 4.1 背景介绍 |
| 4.2 双线性形式 |
| 4.3 孤子解 |
| 4.4 孤子动力学分析 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
（4）偏微分方程大时间步长格式的研究及基于急诊数据的危重症预测的建模与评估（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 偏微分方程的大时间步长格式 |
| 1.2 基于急诊医学数据的危重症预测的建模与评估 |
| 1.3 本文结构 |
| 第2章 一类基于混合HWENO的MOL~T法用于Vlasov模拟 |
| 2.1 背景 |
| 2.2 MOL~T框架 |
| 2.3 HWENO方法 |
| 2.4 二维问题 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.5.1 刚体转动问题 |
| 2.5.2 VP方程组 |
| 2.6 本章总结 |
| 第3章 基于核函数的无条件稳定算法求解非线性抛物偏微分方程 |
| 3.1 背景 |
| 3.2 微分算子近似回顾与分析 |
| 3.2.1 一阶空间导数 |
| 3.2.2 二阶空间导数 |
| 3.2.3 一维非线性抛物方程 |
| 3.3 新型微分算子的构造与分析 |
| 3.3.1 新型算子的构造 |
| 3.3.2 稳定性分析 |
| 3.3.3 空间离散 |
| 3.4 二维问题 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章总结 |
| 第4章 基于急诊数据的危重症预测的建模与评估 |
| 4.1 分析方法 |
| 4.1.1 关联性分析方法 |
| 4.1.2 逻辑回归模型 |
| 4.1.3 模型评估方法 |
| 4.2 基于急诊医学数据的危重症预测 |
| 4.2.1 数据库 |
| 4.2.2 变量分析与筛选 |
| 4.2.3 预测模型的构建 |
| 4.3 模型评估 |
| 4.3.1 ROC分析 |
| 4.3.2 预测概率的评估 |
| 4.4 本章总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（5）二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题来源 |
| 1.2 二维等截面直管中瑞利流的跨音激波稳定性问题及主要结果 |
| 1.2.1 瑞利流的跨音激波稳定性问题 |
| 1.2.2 主要结果 |
| 1.3 二维等截面直管道中带添质效应的亚音速定常可压缩Euler流稳定性问题及主要结果 |
| 1.3.1 带添质效应的亚音速定常可压缩Euler流的稳定性问题 |
| 1.3.2 主要结果 |
| 第二章 符号说明与基础知识 |
| 2.1 符号说明 |
| 2.2 基础知识 |
| 第三章 一维定常特解及其性质 |
| 3.1 热交换问题的一维定常特解 |
| 3.1.1 求解情形(A)的热交换问题一维定常特解的常微分方程组 |
| 3.1.2 求解情形(B)的热交换问题一维定常特解的常微分方程组 |
| 3.2 求解添质问题一维定常亚音速特解的常微分方程组 |
| 3.2.1 亚音速特解 |
| 第四章 热交换对跨音激波稳定性的影响 |
| 4.1 问题(P)的转化 |
| 4.1.1 在Lagrange坐标中的问题(P) |
| 4.1.2 特征分解 |
| 4.1.3 自由边值问题(FB)的线性化 |
| 4.2 具有非局部边界条件的线性椭圆-双曲耦合型方程组 |
| 4.2.1 唯一性和S-条件 |
| 4.2.2 先验估计 |
| 4.2.3 解的存在性 |
| 4.3 定理4.1的证明 |
| 4.3.1 迭代集合 |
| 4.3.2 非线性映射τ |
| 4.3.3 τ的压缩性 |
| 第五章 添质对亚音流稳定性的影响 |
| 5.1 分解引理 |
| 5.1.1 添质问题的分解引理 |
| 5.2 压强的方程与边界条件和等价问题Ⅱ |
| 5.2.1 化简压强p的方程和进口处的边界条件 |
| 5.2.2 线性化和等价问题Ⅲ |
| 5.3 典型问题 |
| 5.3.1 典型问题1: 总焓和熵满足的变系数输运方程组的Cauchy问题 |
| 5.3.2 典型问题2: 压强p的带有多个积分型非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题 |
| 5.3.3 典型问题3: 在截面上切向速度v满足的常微分方程两点边值问题 |
| 5.4 迭代格式 |
| 5.4.1 构造迭代映射τ |
| 5.4.2 τ的压缩性 |
| 5.4.3 映射τ在X_(Mε)中存在唯一不动点 |
| 5.4.4 提升切向速度v关于法向的正则性 |
| 第六章 附录 |
| 6.1 线性常微分方程组在Holder空间中解的正则性 |
| 6.2 x向异性Holder空间 |
| 6.3 定理5.1的证明 |
| 第七章 后续工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在学期间的科研成果 |
（6）高阶精度WCNS方法及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 研究内容和创新点 |
| 1.4 文章组织结构 |
| 2 高阶精度WCNS格式和时间离散方法 |
| 2.1 WCNS空间离散方法 |
| 2.1.1 隐式WCNS格式 |
| 2.1.2 显式WCNS格式 |
| 2.2 时间离散方法 |
| 2.2.1 显式TVD Runge-Kutta方法 |
| 2.2.2 半隐式IMEX Runge-Kutta方法 |
| 3 污染输运模型的满足和谐性的WCNS格式 |
| 3.1 控制方程 |
| 3.2 和谐性WCNS格式 |
| 3.3 数值算例 |
| 3.3.1 一维算例结果 |
| 3.3.2 二维算例结果 |
| 3.4 小结 |
| 4 稳态双曲守恒律问题的快速扫描WCNS格式 |
| 4.1 控制方程 |
| 4.2 快速扫描WCNS格式 |
| 4.2.1 WCNS格式 |
| 4.2.2 快速扫描方法 |
| 4.3 数值算例 |
| 4.4 小结 |
| 5 粘性Burgers方程的半隐式 WCNS格式 |
| 5.1 控制方程 |
| 5.2 半隐式WCNS格式 |
| 5.3 稳定性分析 |
| 5.4 数值算例 |
| 5.4.1 时间精度测试 |
| 5.4.2 数值算例 |
| 5.5 小结 |
| 6 一维Euler方程组的半隐式 WCNS格式 |
| 6.1 控制方程 |
| 6.2 半隐式WCNS格式 |
| 6.3 数值算例 |
| 6.3.1 精度测试 |
| 6.3.2 1D激波管问题 |
| 6.3.3 双峰碰撞声波脉冲 |
| 6.4 小结 |
| 7 结论与展望 |
| 7.1 本文的工作总结 |
| 7.2 下一步工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
（7）几类自对偶网络方程的可积性及解析研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 引言 |
| 1.1 孤子与离散可积系统 |
| 1.2 离散的非线性自对偶网络方程及研究进展 |
| 1.3 离散可积系统的解析方法 |
| 1.4 研究背景及安排 |
| 1.4.1 立论背景 |
| 1.4.2 本文研究的几类非线性自对偶网络方程 |
| 1.4.3 内容安排 |
| 第2章 与非线性自对偶网络方程有关的方程可积性 |
| 2.1 非线性自对偶网络方程的可积性质研究 |
| 2.1.1 方程族 |
| 2.1.2 无穷守恒律 |
| 2.2 逆空间非局域非线性自对偶网络方程的可积性 |
| 2.2.1 方程族 |
| 2.2.2 无穷守恒律 |
| 2.3 逆时间非局域非线性自对偶网络方程的可积性 |
| 2.3.1 方程族 |
| 2.3.2 无穷守恒律 |
| 2.4 逆空时非局域非线性自对偶网络方程的可积性 |
| 2.4.1 方程族 |
| 2.4.2 无穷守恒律 |
| 2.5 本章总结 |
| 第3章 高阶非线性自对偶网络方程的解析解及动力学分析 |
| 3.1 调制不稳定 |
| 3.2 离散广义(m,N-m)-波达布变换 |
| 3.2.1 N-孤子解和渐近分析及其动力学分析——应用N-波达布变换 |
| 3.2.2 有理孤子解及其动力学分析——应用离散广义(1,N-1)-波达布变换 |
| 3.2.3 相互作用解及其动力学分析——应用离散广义(2,N-2)-波达布变换 |
| 3.3 本章小结 |
| 第4章 逆空间非局域自对偶网络方程的解析解及动力学分析 |
| 4.1 离散广义(n,N-m)-波达布变换 |
| 4.1.1 多孤子解及其动力学分析——应用离散非局域的N-波达布变换 |
| 4.1.2 有理解——应用离散非局域的广义(1,N-1)-波达布变换 |
| 4.2 本章小结 |
| 第5章 逆时间非局域自对偶网络方程的解析解及动力学分析 |
| 5.1 N-波达布变换 |
| 5.2 非局域多孤子解和渐近分析及其动力学分析 |
| 5.3 孤子解的动力学演化 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 逆空时非局域自对偶网络方程的解析解及动力学分析 |
| 6.1 离散N-波达布变换 |
| 6.2 多孤子解和渐近分析及其动力学分析 |
| 6.3 本章小结 |
| 6.4 第三章至第六章中四类非线性自对偶网络方程的孤子解性质比较 |
| 第7章 与非线性自对偶网络方程有关的Toda类晶格方程的可积性和解析解研究 |
| 7.1 方程族与Hamiltonian结构 |
| 7.2 无穷守恒律 |
| 7.3 离散广义(m,N-m)-波达布变换 |
| 7.4 离散广义(m,N-m)-波达布变换的应用 |
| 7.4.1 多孤子解及其动力学分析——应用离散的N-波达布变换 |
| 7.4.2 有理解和半有理解——应用离散的广义(1,N-1)-波达布变换 |
| 7.4.3 混合解——应用离散的广义(2,N-2)-波达布变换 |
| 7.5 本章小结 |
| 第8章 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 个人简历 |
（8）几类分数阶微分方程的快速数值算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 缩略词表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 分数阶导数的定义与性质 |
| 1.3 分数阶方程的常见数值算法 |
| 1.4 研究内容及创新点 |
| 1.5 本文结构安排 |
| 第二章 时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程的快速隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 数值格式 |
| 2.2.1 数值格式的推导 |
| 2.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 2.3 快速算法 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程的快速二阶隐式差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数值格式 |
| 3.2.1 数值格式的推导 |
| 3.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 3.3 快速算法 |
| 3.3.1 一维情况 |
| 3.3.2 二维情况 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速隐式积分因子法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数值格式 |
| 4.2.1 空间半离散 |
| 4.2.2 隐式积分因子法 |
| 4.3 快速算法 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 二维非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速紧隐式积分因子法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 数值格式 |
| 5.2.1 空间半离散 |
| 5.2.2 快速紧隐式积分因子法 |
| 5.3 线性稳定性分析 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（9）拉格朗日-欧拉框架下间断有限元方法的分析及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 间断有限元方法回顾 |
| 1.2 欧拉-拉格朗日方法回顾 |
| 1.3 两种移动网格方法 |
| 1.3.1 任意拉格朗日-欧拉间断有限元(ALE-DG)方法 |
| 1.3.2 欧拉-拉格朗日间断有限元(EL-DG)方法 |
| 1.4 本文工作 |
| 第2章 带δ奇异性的双曲方程的ALE-DG方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 符号定义 |
| 2.2.1 网格记号 |
| 2.2.2 近似空间及逼近性质 |
| 2.3 ALE-DG格式设计 |
| 2.4 稳定性分析 |
| 2.5 误差估计 |
| 2.5.1 奇异初值问题 |
| 2.5.2 奇异源项问题 |
| 2.6 后处理技术 |
| 2.7 自适应网格 |
| 2.8 数值实验 |
| 2.9 本章小结 |
| 第3章 KdV方程的ALE-DG方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 ALE-DG格式设计及稳定性分析 |
| 3.2.1 基于L~2能量的ALE-DG格式 |
| 3.2.2 基于哈密顿H能量的ALE-DG格式 |
| 3.3 误差估计 |
| 3.3.1 NC-NC格式(3.25)的L~2模误差估计 |
| 3.3.2 对C-NC格式(3.27)的L~2模误差估计 |
| 3.3.3 对E1(3.44),E2(3.45),E3(3.46)的附加证明 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 线性变系数标量双曲方程的GEL-DG方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 线性传输问题的GEL-DG格式设计 |
| 4.2.1 1维线性传输问题 |
| 4.2.2 入流边界条件 |
| 4.2.3 2D线性传输问题 |
| 4.3 稳定性分析:半离散GEL-DG和EL-DG方法的等价性 |
| 4.3.1 对线性常系数问题,GEL-DG和SL-DG半离散格式的等价性 |
| 4.3.2 半离散的GEL-DG和EL-DG格式的等价性 |
| 4.4 几何守恒律,保最值性及数值限制器 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.5.1 1D线性传输问题 |
| 4.5.2 二维线性被动传输问题 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（10）广田双线性方法与非线性发展方程的复合型解研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 孤立子的产生与发展 |
| 1.2 三种方法 |
| 1.2.1 广田双线性方法 |
| 1.2.2 分离变量法 |
| 1.2.3 辅助方程法 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第2章 Hirota双线性方法与两种非线性发展方程的新解 |
| 2.1 (3+1)维Jimbo-Miwa-Like方程的复合解及其性质分析 |
| 2.1.1 (3+1)维Jimbo-Miwa-Like方程的双线性化 |
| 2.1.2 (3+1)维Jimbo-Miwa-Like方程(2.3)的新解 |
| 2.1.3 (3+1)维Jimbo-Miwa方程(2.2)新解的性质分析 |
| 2.1.4 (3+1)维Hirota-Bilinear方程(2.1)新解的性质 |
| 2.1.5 结论 |
| 2.2 (3+1)维变系数BKP方程新解与性质 |
| 2.2.1 函数变换与(3+1)维变系数BKP方程 |
| 2.2.2 (3+1)维变系数BKP方程的新解 |
| 2.2.3 (3+1)维变系数BKP方程新解的性质 |
| 2.2.4 结论 |
| 第3章 变量分离法与两种非线性发展方程的新解 |
| 3.1 (4+1)维BLMP方程的复合解与性质 |
| 3.1.1 (4+1)维BLMP方程(3.1)的分离变量解 |
| 3.1.2 (4+1)维BLMP方程(3.1)的局部激发 |
| 3.1.3 (4+1)维BLMP方程(3.1)新解的性质 |
| 3.1.4 结论 |
| 3.2 (3+1)维高维孤子方程的新解与性质 |
| 3.2.1 (3+1)维高维孤子方程(3.16)的分离变量解 |
| 3.2.2 (3+1)维高维孤子方程(3.16)分离变量解的性质 |
| 3.2.3 结论 |
| 第4章 (3+1)维变系数KP方程的新复合型解 |
| 4.1 第一种椭圆方程的相关结论 |
| 4.1.1 第一种椭圆方程的Jacobi椭圆函数解 |
| 4.1.2 第一种椭圆方程的Riemannθ函数解 |
| 4.1.3 第一种椭圆方程特殊解 |
| 4.1.4 第一种椭圆辅助方程解的非线性叠加公式 |
| 4.2 (3+1)维变系数KP方程的复合型新解 |
| 4.2.1 函数变换与(3+1)维变系数KP方程 |
| 4.2.2 (3+1)维变系数KP方程的新解 |
| 4.2.3 (3+1)维变系数KP方程新解的性质 |
| 4.2.4 结论 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间获得的研究成果 |
| 致谢 |
四、一类三阶变系数线性系统的解（论文参考文献）
- [1]光纤通信中高阶非线性薛定谔模型的解析研究[D]. 赵健博. 北京邮电大学, 2021(01)
- [2]饱和非均匀光纤中啁啾孤子的频谱和自相似子的传输[D]. 薛瑞荣. 山西大学, 2021(12)
- [3]高维非线性系统解析解的研究与应用[D]. 刘素芝. 北京邮电大学, 2021(01)
- [4]偏微分方程大时间步长格式的研究及基于急诊数据的危重症预测的建模与评估[D]. 王恺鹏. 中国科学技术大学, 2021(09)
- [5]二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析[D]. 高俊磊. 华东师范大学, 2021(08)
- [6]高阶精度WCNS方法及其应用[D]. 陈勋. 西南科技大学, 2021(08)
- [7]几类自对偶网络方程的可积性及解析研究[D]. 袁翠连. 北京信息科技大学, 2021(08)
- [8]几类分数阶微分方程的快速数值算法研究[D]. 蹇焕燕. 电子科技大学, 2021(01)
- [9]拉格朗日-欧拉框架下间断有限元方法的分析及其应用[D]. 洪雪. 中国科学技术大学, 2021(01)
- [10]广田双线性方法与非线性发展方程的复合型解研究[D]. 信鑫. 内蒙古师范大学, 2021(08)