一、Maple软件在常微分方程中的应用（论文文献综述）
陈昱宁[1]（2021）在《一种非套利流动市场中期权定价方程的李对称分析》文中进行了进一步梳理随着经济市场的不断扩大,许多金融衍生品应运而生,关于它的定价问题受到人们的广泛关注。本文在市场不存在无风险套利机会的前提下,考虑一个具有可观测参数的非套利流动市场（B-H）模型的期权定价问题。应用等价变化,本文得到了一个由B-H模型转换的非线性偏微分方程。以李对称分析方法为基础,基于向量场的延拓,分情况对该偏微分方程的对称进行分析,从而得到方程所对应的单参数变化群、李括号和李伴随表示。然后根据不同的对称,运用一维子代数最优系统理论和单参数变化群,进一步约化方程,降低非线性偏微分方程的维数使其变为常微分方程,进而通过求解该常微分方程,得到约化方程的特解。最后讨论解的经济学意义,研究模型中弹性因子、波动率、时间等对资产价格的影响。
杨佳慧[2]（2020）在《压电复合材料悬臂矩形板的动力学建模及非线性分析》文中进行了进一步梳理随着科技的日益发展,近年来无人驾驶飞机在军事和民用等多个领域得到了快速的研究、发展和应用。但由于电池电量有限,无人机的续航能力一般较低,不能很好的满足各个领域的需要。通过无人机发动机的振动及空气动力载荷,利用压电材料的正压电效应,将振动能转化为电能,可以为无人机供电,这是增加续航能力的一种可行方法。本文将无人机机翼简化为复合材料层合悬臂矩形板,并在其表面铺设压电片,从理论和数值模拟两方面研究了压电复合悬臂板在承受不同的激励以及不同铺层参数下的非线性动力学响应及发电性能。该理论研究为基于振动的无人机压电能量采集器提供了理论科学依据,具有重要的工程应用价值。本文的具体研究内容分为以下几个部分:（1）将无人机机翼简化为由碳纤维增强复合材料和压电材料任意铺设的层合悬臂矩形板,承受横向简谐激励和面内参数激励的共同作用。利用经典板理论和Hamilton原理,推导出广义位移表示的压电复合悬臂板的非线性偏微分方程。利用Galerkin法将系统的非线性偏微分方程离散为两个自由度的常微分方程组。应用渐近摄动法分析了反对称正交铺设压电悬臂板主参数共振-1:2内共振的非线性振动响应。基于四维平均方程,用数值方法分析了横向外激励和面内激励对系统非线性振动的影响规律。用多尺度法研究了反对称角铺设压电悬臂板主参数共振-1:3内共振的非线性特性。根据推导的四维平均方程,利用数值方法研究了横向外激励幅值与阻尼系数对系统振动特性的影响。分析表明,反对称角铺设比反对称正交铺设的压电悬臂板的非线性行为更加复杂多变。（2）建立了压电复合悬臂矩形板能量采集器的力-电耦合方程,利用多尺度法对耦合方程进行了摄动分析,推导出系统的幅频响应方程。通过绘制一系列的幅频响应曲线,研究了外激励幅值和系统阻尼系数对系统非线性幅频特性的影响。基于力-电耦合方程,应用Matlab软件,数值模拟分析了系统取不同的阻尼系数时,横向外激励幅值对系统的非线性响应及发电性能的影响。（3）利用Galerkin法将系统的非线性偏微分方程离散为四个自由度的常微分方程。在Matlab软件中,利用四阶Runge-Kutta法,选取接近无人机机翼的尺寸和物理参数值,代入四阶非线性常微分方程组,进行了数值模拟。分别分析了压电复合材料层合悬臂矩形板在横向外激励幅值、系统阻尼和压电参数变化时,系统非线性振动响应特性。分析结果表明,系统的四阶模态存在复杂的非线性耦合关系,同步出现了周期或混沌振动等形式。研究压电复合悬臂矩形板的前四阶模态是非常必要和重要的。（4）考虑任意角铺设压电复合悬臂矩形板受一阶横向气动力和面内参数激励的共同作用,根据Reddy高阶剪切板理论和Hamilton理论建立了系统的非线性动力学方程。利用Galerkin方法进行了无量纲三阶离散,得到三自由度的非线性常微分方程。改变压电复合悬臂矩形板的铺层参数,如宽厚比、?0铺层比例以及某些铺设角度,分析了系统一阶无量纲固有频率随铺层参数变化的规律。通过数值模拟,绘制了系统在不同铺设方式下的一系列幅频响应曲线图。利用多尺度法对任意角铺设压电悬臂板的三阶非线性常微分方程进行了摄动分析。选取不同的面内静载荷值,分别画出一阶横向振动位移随来流速度变化的分叉图。分析结果表明,面内静载荷越小,系统临界失稳速度越大。改变压电层合悬臂矩形板的部分铺层角度,绘制出一阶横向振动位移随来流速度变化的分叉图。对比了两种铺设方式对系统非线性振动特性的影响。
王宇航[3]（2020）在《几类偏微分方程的精确解析解和守恒律》文中研究表明现实世界中的许多实际问题都可以归结为偏微分方程模型,求出偏微分方程的解将帮助人们更好地理解实际问题.基于此,本文以李对称分析方法为主,以计算机软件Maple为辅,研究几类偏微分方程模型.首先用李对称分析方法将偏微分方程约化为常微分方程;然后根据方程的不同类型,选取对应的求解方法,如幂级数法、延拓双曲正切法、最简方程法等,从而求出约化方程的精确解析解;最后,建立了方程的守恒律.第一章为绪论部分,引出偏微分方程的研究背景,简述现有的研究现状和研究方法,点明求偏微分方程的研究意义,并对李对称分析方法和守恒律作了简要概述.第二章研究Benjamin-ono方程,首先用李对称分析方法对最优系统的五个生成元依次推导,得到了易于求解的常微分方程,用幂级数方法求出了它们的精确解析解,最后建立了方程的守恒律.第三章研究耦合KdV-Burgers方程,首先基于李对称分析方法,得到了的李点对称.然后将幂级数理论应用于求解约化方程,得到原方程的幂级数形式的解;对约化方程应用（7）G?/G（8）-展开法,得到原方程三角函数形式和双曲函数形式的解.最后用伴随方程方法获到了方程的守恒律.第四章研究Bogoyavlensky-Konoplechenko方程,该方程是一个（2+1）维方程,用李对称分析方法对该方程进行两轮约化后,得到了方便求解的常微分方程.针对约化常微分方程的特点,选用延拓双曲正切法和最简方程法得到了一些精确解析解.第五章研究一类六阶广义时间分数阶Sawada-Kotera方程,基于分数阶微积分的理论知识,对方程进行李对称分析,得到约化常微分方程,并给出了详细的证明过程,然后利用幂级数方法获得了方程的精确解析解.最后,依据阶数?的不同,分类讨论了方程的守恒律.第六章为总结与展望,总结全文的研究成果,指出还未解决的问题,展望未来偏微分方程的发展前景.
唐威[4]（2020）在《时间分数阶反应-扩散方程和Camassa-Holm方程的解及其动力学性质》文中进行了进一步梳理分数阶非线性偏微分方程在许多自然科学领域中扮演着极为重要的角色,因为它们能精准地刻画和描述诸多科学领域中的一些奇特的非线性现象,比如反常扩散现象、粘弹性现象和记忆性现象等,所以深入探讨这类方程的精确解及其动力学现象有着重大的实际意义。事实上,在数学上能给出这类方程的精确解是罕见的,并且也是极其困难的。本文以分数阶偏微分方程的理论为基础,研究了时间分数阶反应-扩散方程和CamassaHolm方程的精确解,并给出精确解的动力学性质,主要研究内容如下:第一部分是应用分离变量法与动力系统相结合的新算法,讨论了时间分数阶反应-扩散方程的求解问题。首先借助于分离变量法,将方程分离成由特殊函数与整数阶微分方程相互作用的动力系统,其次把分离出来的整数阶微分方程转化成二维平面系统,再根据动力系统的分支理论知识,求出了该方程包括参数形式、周期形式、双曲函数形式和隐式形式的精确解。相比其它文献而言,该部分求解的分类依据较为清晰,获得精确解的类型更加丰富且表达式相对简单,最后由Maple软件绘出的精确解随时间和空间演化的三维坐标图,直观地反应了这些解的动力学现象,比如解随时间和空间的变化而呈现出的衰减性、有界性、稳定性等。第二部分是应用分离变量法和改良后的齐次平衡原理相结合的方法,讨论了分数阶Camassa-Holm方程解的问题。同样地,借助分离变量法,将方程分离成由特殊函数与整数阶微分方程相互作用的动力系统,由于分离出来的整数阶微分方程的阶数较高,所以无法像第一部分那样将其转化成二维平面系统。该部分首先假设整数阶微分方程具有某种特定形式的解,然后将其代入整数阶微分方程中进行运算、化简,对化简后的整数阶微分方程应用改良后的齐次平衡原理,得到方程的空间变量部分具有一次函数形式、指数函数形式、双曲函数形式的精确解。这部分求得的精确解表达式简单,解的类型还比较新颖。类似地,通过由Maple软件绘出的精确解随时间和空间演化的三维坐标图,反应了这些解随时间和空间的变化而呈现出的衰减性、有界性、稳定性等动力学性质。
蒋君[5]（2020）在《分数阶变分问题的最优性条件、Noether定理与分数阶微分方程的精确解》文中认为分数阶微积分在多个领域有着重要应用,是当今热点问题。研究发现地震强度预测系统和微观粒子运动系统等系统用分数阶对数函数模型来表示,比整数阶模型更有效;多变量分数阶控制器和多变量分数阶干扰观测器比整数阶情形精度更高,抗干扰性更强。本文主要研究了单变量分数阶对数函数泛函和多变量分数阶泛函变分问题的最优性条件和Noether定理。同时为了得到最优性条件和Noether定理对应的分数阶微分方程的精确解,本文研究了不变子空间法和改进的子方程法,并得到了一些经典分数阶微分方程的精确解。具体内容如下。1.对于含整数阶导数和Caputo分数阶导数的对数函数Lagrange泛函,利用分数阶变分原理,得到了Hamilton原理和Euler-Lagrange方程。研究了分数阶对数函数Lagrange泛函的Noether对称性,给出了泛函的变分基本公式,并利用无穷小群变换得到了该泛函的Noether对称性和Noether拟对称性的判定定理。得到了该泛函的Noether定理和Noether逆定理,建立了Noether对称与守恒量之间的内在关系。2.建立了含Riemann-Liouville分数阶偏导数、Riemann-Liouville分数阶偏积分和Caputo分数阶偏导数的分部积分公式。对于含Riemann-Liouville分数阶偏导数、Riemann-Liouville分数阶偏积分和Caputo分数阶偏导数的泛函,利用分数阶变分原理,给出了泛函取得极值的一阶必要条件Ostrogradsky方程,给出了泛函取得极值的二阶必要条件Legendre条件。同时讨论了在完整约束条件下和等周约束下该泛函分别取得极值的必要条件。最后研究了该泛函Noether对称性的必要条件。3.建立了求解Caputo分数阶偏导数意义下的含分数阶混合偏导数的时间-空间分数阶偏微分方程的不变子空间法。通过构造幂函数、Mittag-Leffler函数为方程的不变子空间并结合分数阶Laplace变换求解了分数阶扩散方程、带有吸收项的分数阶波动微分方程、广义带有吸收项的分数阶波动微分方程、分数阶色散方程和分数阶非线性热方程的精确解和初值问题。并用此法求解了两个含混合偏导数的二阶微分方程,广义双曲热传导方程和Fokker-Planck方程。4.用改进的子方程法求解了修正的Riemann–Liouville分数阶导数意义下的微分方程的精确解。此法通过分数阶复变换,将分数阶微分方程转化为整数阶常微分方程,然后运用齐次平衡法和maple软件,得到了分数阶微分方程的精确解。运用此法求解了广义时间分数阶生物种群模型、广义时间分数阶复合Kd V-Burgers方程、时间-空间分数阶正则长波方程和广义（3+1）维时间-空间分数阶Zakharov-Kuznetsov方程的精确解。
张清梅[6]（2019）在《含导数Non-Kerr项的NLSE和高阶色散Cubic-Quintic NLSE的精确解》文中研究指明非线性偏微分方程是数学领域中的一个重要分支,在实际生活中,它是被广泛用于描述流体力学、等离子体物理、光生物学、固体物理学、大气现象、工程及医学等问题中的一类重要模型.当我们想要理解这些物理现象原理时,必须对非线性偏微分方程的精确解进行求解,进而研究其非线性偏微分方程所描述的性质.因此,寻找求解非线性偏微分方程精确解的方法是极为重要的.一直以来,许多方法被用来求解非线性偏微分方程的精确解,但仍有许多具有重要物理意义的非线性偏微分方程未得出其精确解,故对许多非线性偏微分方程仍需深入的研究和分析,对其解空间需要不断的进行扩充及丰富.在本文中,分别应用首次积分法、特殊型（G’/G）-展开法及新映射法,求解含导数Non-Kerr项的高阶非线性薛定谔方程（NLSE）和高阶色散Cubic-Quintic非线性薛定谔方程的精确行波解.首先,引入适当的行波变换,将偏微分方程转化为常微分方程.其次,根据首次积分法、特殊型（G’/G）—展开法、新映射方法求解的基本概念及原理,借助Maple计算软件进行详细求解,从而得到方程的精确行波解.最后,给出了三种求解方法的适用形式,并通过与前人用不同方法所得的解进行比较,表明本文所得的精确解扩充和丰富了其己有的解空间.通过求解,本文得到了可由指数函数、三角函数和双曲函数表示的周期波解、孤立波解、明、暗孤子解及奇异孤子解等形式的解.从求解过程及所得结果来看,首次积分法、特殊型（G’/G）—展开法及新映射法都是求解非线性偏微分方程精确行波解的一种直接、简单、有效的方法,即通过借助Maple软件,可避免大量复杂繁琐的计算,从而得到更精确、更丰富的行波解.因此,这些方法可以推广到求解多系统的非线性偏微分方程中.
张贝贝[7]（2019）在《含任意次非线性项的DS方程和Zakharov方程的精确解》文中研究说明在现代数学中,非线性偏微分方程在实际应用和理论研究方面均有着十分重要的作用.近些年来,许多学者对一些非线性偏微分方程做了大量的研究.但是,还有很多的非线性偏微分方程的解没有求出来,也没有一种统一的方法来求解非线性偏微分方程.因此,找到一种有效并且可行的方法就成了一项具有深远意义的研究.在本文中,应用（G’/G,1/G）展开法和新的（G’/G）展开法来求解含任意次非线性项的广义Davey-Stewartson方程和含任意指数的广义Zakharov方程,并获得了 一些精确解.同时也使得这两个方程的解变得更加丰富.首先,运用（G’/G,1/G）展开法来解方程,需要先考虑一个行波变换,然后把偏微分方程转化为常微分方程,此时相当于平面动力系统.再结合常微分定性理论和maple软件来得到方程的精确解.其次,利用新的（G’/G）展开法去求解这两个方程,方程先通过行波变换和cole-hopf变换,再通过平衡高阶线性项和方程中的高阶非线性项来确定正整数n,最后通过maple软件可以求得方程的精确解.另一方面,把本文得到的结果和前人得到的结果进行了一些对比,可以证明本文的结果是新的.经过本文的研究,最终得到了扭结波解、孤立波解、反扭结波解和周期波解等.这些解是由指数函数、三角函数、双曲函数和雅可比椭圆函数等函数表示.从所得的结果可知,（G’/G,1/G）展开法和新的（G’/G）展开法求得的解是比较丰富的.同时,也说明了这两种方法对于求解非线性偏微分方程是很有效和直接的.
姜文涛[8]（2019）在《两类（2+1）维BBM型方程的守恒律与精确解问题研究》文中研究指明(2+1)维KP-BBM方程和（2+1）维BBM方程在物理、力学等领域有着广泛的应用.其中（2+1）维KP-BBM方程应用于流体中长波单向传播模型,（2+1）维BBM方程主要描述的是某种非线性散射系统中长波的单向传播模型.本文运用经典的Lie对称分析方法和双约化方法,对两类（2+1）维BBM型方程的精确解和守恒律问题进行了研究,主要研究的内容与成果如下:本文第一部分研究的是一种特殊的广义（2+1）维Kadomtsov-Petviashivilli-Benjamin-Bona-Mahony（KP-BBM）方程.根据Lie对称分析,得到5个无穷小的生成子并计算得到满足守恒律条件的两个生成子的守恒形式.通过使用双约化理论,将广义KP-BBM方程化简为两种常微分方程形式,最后通过解这些常微分方程来得到原方程的精确解,并且通过选择适当的参数,给出这些解的图像.本文第二部分研究了（2+1）维Benjamin-Bona-Mahony（BBM）方程的Lie对称,守恒律,双约化和方程的精确解.首先运用乘子方法得到BBM方程的两个守恒向量,接下来,运用广义双约化理论将偏微分BBM方程约化成常微分方程,最后运用Sine-Cosine方法求出约化后的常微分方程的新的精确解,并将其一部分图像呈现出来.对于这两类（2+1）维BBM型方程的研究,有助于更好地理解水波动力学模型的运动轨迹.
康丽[9]（2019）在《三个非线性分数阶偏微分方程的精确解》文中研究说明非线性分数阶偏微分方程是一种广泛应用于科学与工程领域的重要数学模型,它能够更好地描述具有时间记忆性和空间相互作用的物理现象,研究非线性分数阶偏微分方程的精确解对于理解这些复杂物理现象和动力学过程大有帮助.本文基于整合分数阶导数的定义及相关性质,结合分数阶复变换,将分数阶偏微分方程转化为整数阶常微分方程,然后引入一个新的辅助方程,运用扩展的（G’/G）-展开法构建了时空分数阶mBBM方程、时空分数阶Equal-width方程和时间分数阶耦合Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程的精确解.在求解过程中,利用Maple软件的符号计算得到了一系列新解,其中包括双曲函数解、三角函数解和有理函数解.结合Maple软件的绘图功能,作出精确解相对应的三维图形,有助于我们更深入地研究非线性分数阶偏微分方程及其实际意义.
董梅[10]（2019）在《非线性微分方程的等价变换和精确解研究》文中研究表明本文将推广的（Clarkson和Kruskal）CK直接约化方法应用到了推广的柱KdV方程和五阶变系数Kawahara方程中,得到相应的转换方程,然后将李群理论运用于两个转换后的方程中进行分析求解;并在（3+1）维KP方程中应用G’/G展开法求出其精确解.首先,找出推广的柱KdV方程和五阶变系数Kawahara方程与对应常系数方程间的关系,并求出常系数方程的所有生成元,得到群不变解以及约化方程,再对约化方程进行求解.在（3+1）维KP方程中,应用G’/G展开法探讨了该方程的G’/G解是否存在,并求得了该方程的所有G’/G解.在第一章中,应用推广的CK直接约化方法把推广的柱KdV方程转化为常系数方程,确定了两方程解的关系,再应用李群理论研究了变换后的方程,得到该方程的生成元,再利用辅助方程对约化后的方程进行求解,从而得到了原方程的精确解.同时,利用求得的生成元得推广的柱KdV方程的伴随方程和显式守恒律.在第二章,应用推广的CK直接约化方法探究了推广的五阶变系数Kawahara方程和对应常系数方程之间的联系,再应用李群理论对五阶常系数Kawahara方程进行分析,得到五阶常系数方程的李点对称以及约化方程,对约化方程求解,进而给出方程的伴随方程和守恒律。在第三章,运用行波变换和齐次平衡原理以及G’/G展开法探究了Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程.然后,讨论了KP方程的G’/G解是否存在,并求得了KP方程所有的G’/G解.综上所述,推广的CK直接约化方法能够找到一些变系数方程与对应常系数方程之间的等价关系式,李群分析理论能够把高维的非线性偏微分方程最终降低为一维的、易于求解的常微分方程.
二、Maple软件在常微分方程中的应用（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Maple软件在常微分方程中的应用（论文提纲范文）
（1）一种非套利流动市场中期权定价方程的李对称分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究目的和意义 |
| 1.2 期权定价的国内外研究现状及发展动态分析 |
| 1.3 李对称的国内外研究现状及发展动态分析 |
| 1.4 本课题的主要研究内容 |
| 第2章 李对称的基本理论 |
| 2.1 李群和李代数 |
| 2.2 李变换群和无穷小变换 |
| 第3章 Backstein- Howison对称方程的求解 |
| 3.1 B-H方程的李点对称 |
| 3.2 一维子代数的最优系统 |
| 3.2.1 μ~2≠4/3时的一维子代数 |
| 3.2.2 μ~2=4/3时的一维子代数 |
| 3.3 本章小结 |
| 第4章 Backstein-Howison方程的对称约化和特解 |
| 4.1 B-H方程的约化求解 |
| 4.1.1 μ~2≠4/3时B-H方程的约化求解 |
| 4.1.2 μ~2=4/3时B-H方程的约化求解 |
| 4.2 方程约化特例 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 致谢 |
（2）压电复合材料悬臂矩形板的动力学建模及非线性分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景 |
| 1.2 复合材料层合板简介及动力学研究现状 |
| 1.2.1 复合材料层合板的研究现状 |
| 1.2.2 悬臂板动力学研究现状 |
| 1.3 压电悬臂结构的动力学研究现状 |
| 1.3.1 压电效应及压电材料 |
| 1.3.2 压电悬臂结构研究现状 |
| 1.4 气动力作用下层合板研究现状 |
| 1.4.1 气动力作用复合材料层合板动力学研究现状 |
| 1.4.2 气动力作用下压电悬臂板研究现状 |
| 1.5 课题来源 |
| 1.6 论文的研究内容 |
| 第2章 横向及面内激励作用下压电复合材料悬臂矩形板的动力学建模 |
| 2.1 建立经典板压电复合材料悬臂板运动方程 |
| 2.2 无量纲化动力学方程 |
| 2.3 利用Galerkin方法对动力学方程进行两阶离散 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 压电复合材料悬臂矩形板1:2和1:3内共振的非线性动力学研究 |
| 3.1 反对称正交铺设压电悬臂板1:2内共振分析 |
| 3.1.1 摄动分析 |
| 3.1.2 横向外激励幅值对系统非线性振动特性的影响 |
| 3.1.3 面内激励幅值对系统非线性振动特性的影响 |
| 3.2 反对称角铺设压电悬臂板1:3内共振分析 |
| 3.2.1 横向外激励幅值对系统非线性振动特性的影响 |
| 3.2.2 阻尼系数对系统非线性振动特性影响 |
| 3.3 本章小结 |
| 第4章 压电复合材料悬臂矩形板的发电性能研究 |
| 4.1 建立压电复合材料层合悬臂板的力-电耦合方程 |
| 4.1.1 电压与横向位移的关系 |
| 4.1.2 横向位移与电压的关系 |
| 4.2 压电复合材料层合悬臂板力-电耦合方程的摄动分析 |
| 4.3 输出电压的幅频响应分析 |
| 4.3.1 外激励幅值的影响 |
| 4.3.2 阻尼系数的影响 |
| 4.4 不同阻尼系数对系统非线性振动行为的影响 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 数值模拟研究压电复合材料悬臂矩形板的非线性振动特性 |
| 5.1 利用Galerkin方法对动力学方程进行离散 |
| 5.2 横向外激励幅值对系统非线性振动特性的影响 |
| 5.3 阻尼系数对系统非线性振动特性的影响 |
| 5.4 压电系数对系统非线性振动特性的影响 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 气动力作用下角铺设压电复合材料悬臂矩形板的动力学建模及幅频特性分析 |
| 6.1 建立高阶板任意角铺设压电层合悬臂板非线性振动方程 |
| 6.2 利用Galerkin方法离散角铺设悬臂板 |
| 6.3 固有频率分析 |
| 6.4 幅频响应分析和盆地边界图 |
| 6.5 本章小结 |
| 第7章 气动力作用下角铺设压电复合材料悬臂矩形板1:2:3内共振分析及数值模拟研究 |
| 7.1 摄动分析 |
| 7.2 来流速度对系统非线性振动特性的影响 |
| 7.3 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间所发表的学术论文 |
| 致谢 |
（3）几类偏微分方程的精确解析解和守恒律（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 李对称分析方法 |
| 1.3 守恒律 |
| 第二章 Benjamin-ono方程的李对称分析,精确解及守恒律 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 李对称分析 |
| 2.3 对称约化 |
| 2.3.1 生成元V_1 |
| 2.3.2 生成元V_2 |
| 2.3.3 生成元V_3 |
| 2.3.4 生成元V_2+V_3 |
| 2.3.5 生成元V_2+V_3 |
| 2.4 精确幂级数解 |
| 2.4.1 方程(2.12)的精确解 |
| 2.4.2 方程(2.14)的精确解 |
| 2.4.3 方程(2.16)的精确解 |
| 2.4.4 方程(2.18)和方程(2.20)的精确解 |
| 2.5 守恒律 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 耦合KdV-Burgers方程的李对称,精确解和守恒律 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 方程(3. 1)的李对称分析 |
| 3.3 对称约化 |
| 3.3.1 生成元V_1 |
| 3.3.2 生成元V_2 |
| 3.3.3 生成元ωV_1+V_2 |
| 3.4 方程(3.23)的显式解析幂级数解 |
| 3.5 方程(3.25)的G'/G等展开法 |
| 3.6 方程(3.1)的守恒律 |
| 3.7 本章小结 |
| 第四章 一类(2+1)维Bogoyavlensky-Konoplechenko方程的李对称分析和精确显式解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 基于李对称分析方法解决偏微分方程的一般步骤 |
| 4.3 李对称分析 |
| 4.4 对称约化 |
| 4.5 精确显式解 |
| 4.5.1 用延拓双曲正切方法得到的精确解 |
| 4.5.2 用Bernoulli方程作最简方程得到的精确解 |
| 4.5.3 用Riccati方程作最简方程得到的精确解 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 一类六阶广义时间分数阶Sawada-Kotera方程的李对称分析,解析解和守恒律 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 李对称分析 |
| 5.3 对称约化 |
| 5.4 精确幂级数解 |
| 5.5 守恒律 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录: 作者在攻读硕士学位期间发表的论文 |
| 附录 |
（4）时间分数阶反应-扩散方程和Camassa-Holm方程的解及其动力学性质（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究历史和现状 |
| 1.2 研究内容简介 |
| 2 准备知识 |
| 2.1 分数阶微积分的定义 |
| 2.2 分数阶微积分的性质 |
| 2.3 特殊函数 |
| 3 时间分数阶非线性反应-扩散方程的精确解及其动力学性质 |
| 3.1 时间分数阶反应-扩散方程的简介 |
| 3.2 分离变量法与动力系统相结合的方法简介 |
| 3.3 两个时间分数阶反应-扩散方程解的存在性和动力学性质 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 时间分数阶Camassa-Holm型方程的精确解及其动力学性质 |
| 4.1 时间分数阶Camassa-Holm型方程的简介 |
| 4.2 分离变量法与齐次平衡原理相结合的方法简介 |
| 4.3 时间分数阶Camassa-Holm型方程的精确解和动力学性质 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 结论及展望 |
| 参考文献 |
| 附录A: 作者攻读硕士学位期间发表论文及科研情况 |
| 致谢 |
（5）分数阶变分问题的最优性条件、Noether定理与分数阶微分方程的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.3.1 单变量分数阶变分问题 |
| 1.3.2 多变量分数阶变分问题 |
| 1.3.3 分数阶微分方程的不变子空间法 |
| 1.3.4 分数阶微分方程的子方程法 |
| 1.3.5 本文的结构 |
| 第2章 单变量分数阶变分问题:最优性条件及Noether定理 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 最优性条件和Noether定理 |
| 2.2.1 Hamilton原理和Euler-Lagrange方程 |
| 2.2.2 Noether对称性 |
| 2.2.3 Noether定理 |
| 2.2.4 Noether逆定理 |
| 2.3 算例 |
| 2.4 结论 |
| 第3章 多变量分数阶变分问题:最优性条件及Noether定理 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 最优性条件和Noether定理 |
| 3.2.1 Ostrogradsky方程 |
| 3.2.2 Legendre条件 |
| 3.2.3 具有完整约束的分数阶变分问题 |
| 3.2.4 分数阶等周问题 |
| 3.2.5 Noether定理 |
| 3.3 算例 |
| 3.4 结论 |
| 第4章 分数阶微分方程的不变子空间法 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 不变子空间法 |
| 4.3 不变子空间法的应用 |
| 4.3.1 时间-空间分数阶扩散方程 |
| 4.3.2 时间-空间分数阶微分方程的初值问题 |
| 4.3.3 带有吸收项的时间-空间分数阶波动方程的初值问题 |
| 4.3.4 广义带有吸收项的时间-空间分数阶波动方程 |
| 4.3.5 时间-空间分数阶色散方程 |
| 4.3.6 时间-空间分数阶热方程 |
| 4.3.7 广义时间-空间双曲热传导方程 |
| 4.3.8 Fokker-Planck方程 |
| 4.4 结论 |
| 第5章 分数阶微分方程的子方程法 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 改进的子方程法简介 |
| 5.3 改进的子方程法的应用 |
| 5.3.1 广义时间分数阶生物种群模型 |
| 5.3.2 广义时间分数阶复合Kd V-Burgers方程 |
| 5.3.3 时间-空间分数阶正则长波方程 |
| 5.3.4 广义(3+1)维时间-空间分数阶Zakharov-Kuznetsov方程 |
| 5.4 结论 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 内容总结 |
| 6.2 创新点 |
| 6.3 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录1 攻读博士学位期间取得的科研成果 |
| 附录2 攻读博士学位期间参加的科研项目 |
（6）含导数Non-Kerr项的NLSE和高阶色散Cubic-Quintic NLSE的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外的研究现状 |
| 1.3 研究内容及创新之处 |
| 第2章 基本方法 |
| 2.1 首次积分法 |
| 2.1.1 概念及原理 |
| 2.1.2 基本方法 |
| 2.2 特殊型(G'/G)-展开法 |
| 2.2.1 概念及原理 |
| 2.2.2 基本方法 |
| 2.3 新映射法 |
| 2.3.1 概念及原理 |
| 2.3.2 基本方法 |
| 2.4 三种求解方法的比较 |
| 第3章 含导数Non-Kerr项的高阶非线性薛定谔方程的精确解 |
| 3.1 化简方程 |
| 3.2 首次积分法求其精确解 |
| 3.3 特殊型(G'/G)-展开法求其精确解 |
| 3.4 新映射法求其精确解 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 高阶色散Cubic-Quintic非线性薛定谔方程的精确解 |
| 4.1 化简方程 |
| 4.2 首次积分法求其精确解 |
| 4.3 特殊型(G'/G)-展开法求其精确解 |
| 4.4 新映射法求其精确解 |
| 4.5 小结 |
| 第5章 三种求解方法的适用形式及其所得解的比较 |
| 5.1 适用形式 |
| 5.1.1 首次积分法的适用形式 |
| 5.1.2 特殊型(G'/G)-展开法的适用形式 |
| 5.1.3 新映射法的适用形式 |
| 5.2 所得解的比较 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间完成的研究成果 |
（7）含任意次非线性项的DS方程和Zakharov方程的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外的研究现状 |
| 1.3 研究内容及创新之处 |
| 第2章 基本方法 |
| 2.1 (G'/G,1/G)展开法的简介 |
| 2.1.1 (G'/G,1/G)展开法的意义 |
| 2.1.2 (G'/G,1/G)展开法的介绍 |
| 2.2 新的(G'/G)展开法的简介 |
| 2.2.1 新的(G'/G)展开法的意义 |
| 2.2.2 新的(G'/G)展开法的介绍 |
| 第3章 含任意次的非线性项Davey - Stewartson方程的精确解 |
| 3.1 用(G'/G,1/G)展开法求其精确解 |
| 3.1.1 化简方程 |
| 3.1.2 求解过程 |
| 3.2 用新的(G'/G)展开法求其精确解 |
| 3.2.1 化简方程 |
| 3.2.2 求解过程 |
| 第4章 含任意指数的广义Zakharov方程的精确解 |
| 4.1 用(G'/G,1/G)展开法求其精确解 |
| 4.1.1 化简方程 |
| 4.1.2 求解过程 |
| 4.2 用新的(G'/G)方法求其精确解 |
| 4.2.1 化简方程 |
| 4.2.2 求解过程 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间完成的研究成果 |
（8）两类（2+1）维BBM型方程的守恒律与精确解问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性偏微分方程的研究现状 |
| 1.2 (2+1)维BBM型方程及其精确解的研究现状 |
| 1.3 Lie对称原理简介 |
| 1.4 非局部守恒律及乘子的守恒律 |
| 1.5 双约化理论简介 |
| 1.6 本文的主要工作 |
| 第二章 (2+1)维KP-BBM方程的精确解与守恒律 |
| 2.1 (2+1)维KP-BBM方程的守恒律分析 |
| 2.2 (2+1)维KP-BBM方程的双约化 |
| 2.3 (2+1)维KP-BBM方程的精确解 |
| 2.4 小结 |
| 第三章 (2+1)维BBM方程的守恒律与精确解 |
| 3.1 (2+1)维BBM方程对称分析 |
| 3.2 乘子方法构造守恒律分析 |
| 3.3 (2+1)维BBM方程的双约化 |
| 3.4 (2+1)维BBM方程的精确解 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 结论与展望 |
| 4.1 总结 |
| 4.2 研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 硕士期间发表论文 |
（9）三个非线性分数阶偏微分方程的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究综述 |
| 1.2 本文主要内容 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.3.1 整合分数阶导数 |
| 1.3.2 扩展的(G'/G)-展开法的概述 |
| 第二章 时空分数阶mBBM方程的精确解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 求解时空分数阶mBBM方程 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 时空分数阶Equal-width方程的精确解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 求解时空分数阶Equal-width方程 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 时间分数阶耦合Drinfel'd-Sokolov-Wilson方程的精确解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 方法概述 |
| 4.3 求解时间分数阶耦合Drinfel'd-Sokolov-Wilson方程 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 全文总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间的研究成果 |
（10）非线性微分方程的等价变换和精确解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 前言 |
| 第一章 推广的柱KdV方程的等价变换及精确解、守恒律 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 推广的柱KdV方程的等价变换 |
| 1.3 推广的柱KdV方程的李群分析 |
| 1.4 推广的柱KdV方程的对称约化和精确解 |
| 1.5 推广的柱KdV方程的伴随方程和守恒律 |
| 1.6 结论 |
| 第二章 五阶变系数Kawahara方程的等价变换及精确解、守恒律 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 五阶变系数Kawahara方程的等价变换 |
| 2.3 五阶变系数Kawahara方程的李群分析 |
| 2.4 五阶常系数Kawahara方程的对称约化和精确解 |
| 2.5 五阶变系数Kawahara方程的伴随方程和守恒律 |
| 2.6 结论 |
| 第三章 G'/G展开法在(3+1)-维KP方程中的应用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 (3+1)-维KP方程G'/G解的存在性 |
| 3.3 (3+1)-维KP方程G'/G解 |
| 3.4 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文 |
四、Maple软件在常微分方程中的应用（论文参考文献）
- [1]一种非套利流动市场中期权定价方程的李对称分析[D]. 陈昱宁. 华北电力大学(北京), 2021(01)
- [2]压电复合材料悬臂矩形板的动力学建模及非线性分析[D]. 杨佳慧. 北京工业大学, 2020
- [3]几类偏微分方程的精确解析解和守恒律[D]. 王宇航. 江南大学, 2020(01)
- [4]时间分数阶反应-扩散方程和Camassa-Holm方程的解及其动力学性质[D]. 唐威. 重庆师范大学, 2020(05)
- [5]分数阶变分问题的最优性条件、Noether定理与分数阶微分方程的精确解[D]. 蒋君. 武汉科技大学, 2020(01)
- [6]含导数Non-Kerr项的NLSE和高阶色散Cubic-Quintic NLSE的精确解[D]. 张清梅. 云南财经大学, 2019(02)
- [7]含任意次非线性项的DS方程和Zakharov方程的精确解[D]. 张贝贝. 云南财经大学, 2019(02)
- [8]两类（2+1）维BBM型方程的守恒律与精确解问题研究[D]. 姜文涛. 昆明理工大学, 2019(04)
- [9]三个非线性分数阶偏微分方程的精确解[D]. 康丽. 四川师范大学, 2019(01)
- [10]非线性微分方程的等价变换和精确解研究[D]. 董梅. 聊城大学, 2019(01)