一、用广田直接法求带高阶修正的扩充的非线性Schrodinger方程的孤子解（论文文献综述）
郭增鑫,胡彦鑫,辛祥鹏[1]（2021）在《非线性麦克斯韦方程最优系统及精确解》文中进行了进一步梳理研究一类二阶非线性麦克斯韦方程的对称约化以及精确解问题。首先利用李群方法求出该方程的向量场,进而方程的对称也可以得到,并通过求解常微分方程初值问题得到了该方程的对称群。其次,为了研究对称的等价性,利用一维最优化方法得到该方程的最优系统,借助最优系统对方程进行对称约化。为了方便求解约化后的常微分方程,对一些参数做了一定的约束,因此得到的解是在上述约束条件下的解析解。最后构造了这些情况下的群不变解,并求出一系列新的精确解。
赵文强[2]（2016）在《非线性演化方程若干种波解的自动推导研究》文中研究指明自然科学和工程技术中的许多问题的研究,最终都可以归结为对非线性演化方程的求解问题.非线性演化方程可以科学合理地描述相关事物与现象之间的联系,因此,构造它们的解对研究相关非线性问题具有十分重要的意义.而构造非线性演化方程的解通常需要繁杂的运算,单纯的手工计算已经不能够满足日益庞大的求解需求.随着计算机技术的飞速发展,人们开始发展基于符号的计算机处理方法,利用计算机代数系统求解非线性演化方程,这极大地促进了非线性科学的发展.本文以非线性演化方程为研究对象,推广了简单Hirota方法,并基于符号计算系统Maple研发了自动求解非线性演化方程的软件包ZASP,具体如下：1. Hirota方法是一种构造非线性演化方程波解的直接代数方法.本文在前人的工作基础上,按照变换类型综述了该方法求解非线性演化方程的思路和步骤,并由此获得了简单Hirota方法中辅助函数的假设形式.这些工作为提出构造非线性演化方程波解的新算法提供了基础.2.简单Hirota方法是人们在Hirota方法的基础上,绕过了非线性演化方程双线性化的步骤,通过事先假设辅助函数,进而构造出原方程特定类型的孤波或孤子解.但是,简单Hirota方法并不能求解所有传统Hirota方法能够求解的方程,比如包含三角函数的Sine-Gordon方程、变换中存在复数的薛定谔方程等.本文对简单Hirota方法的求解过程进行推广,并基于Hirota方法和推广后的简单Hirota方法提出了构造非线性演化方程波解的新算法.3.基于本文的新算法,在符号计算系统Maple上研发了自动推导非线性演化方程波解的软件包ZASP. ZASP不仅可以自动求解单个非线性演化方程,也能适用于非线性耦合方程.
庄彬先[3]（2014）在《超常介质中孤子和行波的产生与传播研究》文中认为光孤子是指能在具有色散或/和衍射效应的非线性介质中稳定传播的局域化电磁波,它始终是非线性光学的一个重要研究方向。调制不稳定性是自然界一种非常普遍的非线性现象,因为它的发生机制与孤子现象密切相关,所以常常作为孤子产生和稳定传输的一种先兆或判据。由于所有形式的孤子具有共同的物理本质和行为特征,因此研究光孤子的物理本质和机理,将帮助理解和探索其它领域孤子的物理研究和物理机制,促进这些孤子动力学研究的发展。此外,光孤子在未来的许多方面拥有巨大的潜在应用前景,如量子信息处理、超远距离光孤子通信、光开关、光存储、光学捕获等。光孤子是由传输介质中线性和非线性过程相互作用产生的。最近十几年,一种具有许多天然物质所不具有的独特超常性质的人工合成介质即超常介质成为材料学科的热点,并带动光脉冲尤其是光孤子在超常介质中传输的调控研究。由于超常介质的线性和非线性电磁特性可以由其人工组成结构人为调整,故其线性和非线性电磁特性比常规介质更多更丰富,使传输在超常介质中的孤子更容易实现,并且提供了操控孤子的更多手段,蕴含了丰富的孤子现象和孤子物理。超常介质蕴含许多新的效应,本论文研究了其中一些新效应对超常介质中调制不稳定性和光孤子传输特性的影响,这些研究结果将促进超常介质中光孤子动力学理论的发展,并为未来的光学器件的研制提供依据。本论文的主要创新结果如下:第一,超常介质的线性色散磁导率与非线性极化率结合,导致光束在超常介质中传输时出现反常自陡峭效应;非线性光子晶体（超常介质的一种）的非线性性和自准直的相互作用导致光束在近自准直频率处传输时出现非线性衍射效应,且可调的自准直频率会影响非线性衍射效应。本文揭示了超常介质中反常自陡峭效应、三阶非线性和五阶非线性效应在正折射区和负折射区导致的新的调制不稳定性产生条件和调控规律;发现了超常介质中非线性衍射效应和可调自准直频率导致的新的调制不稳定性。第二,通过Riccati方程法求解超常介质中的高阶非线性薛定谔方程,得到了不同条件下的亮孤子和暗孤子解。与常规介质相比,超常介质可能存在正折射区和负折射区,且在每个折射区内的自陡峭效应和二阶非线性色散效应其符号和大小可调,揭示了超常介质中反常自陡峭效应和二阶非线性色散效应分别在每个折射区的三种群速度色散情形对亮、暗孤子形成条件和传输的影响。此外,还得到高阶非线性薛定谔方程的大量其它行波解,如双曲函数型解、三角函数周期解、Jacobi椭圆双周期解和Weierstrass双周期解等。第三,研究了超常介质中光脉冲传输的另一类物理模型即短脉冲方程的孤子解和行波解,得到了其产生的物理条件和演化规律。发现短脉冲方程的有界行波解只可能存在于聚焦非线性,不可能存在于散焦非线性。在聚焦非线性情形,求得了短脉冲方程的有界行波解,包括两种周期（反）环有界解和一种周期（反）峰有界解,发现前两种周期（反）环有界解可以退化为一种（反）环孤立波解。
套格图桑[4]（2011）在《论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进》文中进行了进一步梳理1834年8月,英国科学家罗素发现了孤立波自然现象.1895年,荷兰阿姆斯特丹大学的数学家德弗里斯（G.de Vries）在导师柯特维格（D.J.Korteweg）的指导下,研究单方向运动的浅水波时,建立了描述罗素孤立波现象的数学模型KdV方程,从理论上肯定了孤立波解的存在性.1955年,美国物理学家费米（Enrico Fermi）,帕斯塔（John Pasta）和犹拉姆（Stan Ulam）提出的着名的FPU问题,对于发现孤立子提供了第一个实验依据.1965年,美国Princeton大学应用数学家扎布斯基（N.J.Zabusky）和实验室的克鲁斯卡尔（M.D.Kruskal）发现了FPU问题中弦的位移满足KdV方程,而且他们通过计算机模拟重现了孤立波相互作用时表现出类此于粒子的性质,并由此提出“孤立子”的概念.孤立子概念的提出证明了孤立波解的稳定性.最近50多年来,人们利用计算机技术,在非线性光学中发现光孤子并应用于通信领域取得了成功.生物学中发现了达维多夫（Davydov）孤立子,海洋学中发现了内孤立波.另外,在凝聚态物理、激光物理、超导物理、经济学、人口问题和医学等诸多科学领域中相继发现了光滑孤立子解、尖峰孤立子解和紧孤立子解等多种孤立子.孤立子理论的研究内容大致分为以下两类.（1）构造系统的求解方法：即构造和发展求解非线性方程的一种系统的方法.这里指的非线性方程包括非线性偏微分方程,非线性常微分方程,非线性积分微分方程和非线性差分微分方程.对于许多非线性发展方程,已经有了多种有效的求解方法,但是没有一种通用的方法.（2）解释解的性质：研究解释可积方程的代数和几何的一系列美妙的性质.这里所说的可积方程是能够转化成线性方程的非线性方程.对于研究解的性质方面一般有如下三个情况.第一种情况：当难以获得显示精确解时,分析研究非线性发展方程的适定性问题；第二种情况：利用计算数学的理论知识和计算机,对解进行模拟分析研究；第三种情况：利用试探法和构造变换法等数学技巧,获得非线性发展方程的精确解.虽然以上三种研究方法的角度不同,但是目的都是解释解的变化规律.数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展,以及与社会政治、经济和一般的文化的联系.1974年,吴文俊开始研究中国数学史.他在“古证复原”原则下,利用“反辉格”与“中西方数学对比”相结合的综合性方法来研究中国传统数学,揭开了中国数学的构造性和机械化性两个特点.在此基础上与计算机技术相结合发明了着名的“吴消元法”.吴文俊的工作成就是“古为今用”的典范.他提出的“新方法论”对于数学史和数学研究工作来说具有指导性和启发性作用.构造非线性发展方程的精确解是孤立子理论的重要研究课题之一.试探函数法与辅助方程法在构造非线性发展方程精确解领域发挥了非常重要的作用,已经获得了许多新成果.本文从“吴消元法”的发明得到启示,利用“新方法论”对2009年以前的辅助方程法和试探函数法有关的大量文献进行认真比较和仔细分析研究,获得了这两种方法的构造性和机械化性.在第四章中总结了试探函数法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,提出了新的试探函数法,构造了非线性连续（离散）发展方程新的精确解.在第五章中首先通过对Riccati方程法等辅助方程法有关的大量文献进行研究,梳理了辅助方程法的思想基础和来源问题,总结了辅助方程法的四个应用步骤体现了该方法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,初步发挥辅助方程法的两大特点,提出了三角函数型辅助方程法与双曲函数型辅助方程法等新的方法,构造了非线性发展方程的新精确解.（1）把非线性发展方程转化为非线性常微分方程的变换具有构造性.（2）辅助方程与非线性常微分方程的形式解具有构造性.（3）非线性方程组的求解问题具有机械化性.（4）非线性发展方程解的验证具有机械化性.理论上说：《非线性发展方程存在无穷多个解》.但是,辅助方程法有关的诸多博士（硕士）学位论文以及相关的文献只获得了有限多个精确解.本文为了获得非线性发展方程的无穷序列精确解,挖掘辅助方程法的两大特点的含义获得了Riccati方程、第一种椭圆辅助方程、第二种椭圆辅助方程等几种常用辅助方程的自Backlund变换、拟Backlund变换和解的非线性叠加公式,构造了连续（离散）和变系数（常系数）非线性发展方程的多种类型的无穷序列新精确解.（1）单函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数单独构成的无穷序列新精确解.这里包括无穷序列光滑孤立波解、无穷序列尖峰孤立波解和尤穷序列紧孤立子解.本文不仅获得了K（m,n）方程、Degasperis-Procesi方程和CH方程的无穷序列尖峰孤立波解和无穷序列紧孤立子解,而目.其他的非线性发展方程中也获得了此类精确解.（2）复合函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数通过几种形式复合而成的无穷序列精确解.这里包括光滑孤立波解、尖峰孤立波解和紧孤立子解通过几种形式复合而成的无穷序列新精确解.
张纬民[5]（2009）在《若干非线性波方程的构造性求解研究》文中认为众所周知非线性科学成为当代科学研究重要的前沿领域。近几十年来,随着科学技术的不断发展,各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的兴趣和重视。特别是在近代物理和科学工程计算中的一些关键问题,归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解。所以无论在理论研究方面,还是在实际应用中,非线性方程的求解都占有非常重要的地位。非线性方程的求解已成为广大科学工作者经常面临的问题。但构造非线性微分方程的解是既重要又困难的课题,需要灵活高效的数学工具。近年来,国内外的研究者在求解非线性微分方程方面做了大量的工作,获得了很多成果。本文在前人研究的基础上,构造性求解一些在科学和工程上具有重要意义的非线性波问题。本文研究内容主要包括第一章介绍了非线性波动方程构造性理论求解的研究背景、研究进展、发展现状和意义,总结并分析了现有的求解非线性波动方程的方法。第二章我们首先对DBM方程和Log—DBM方程作了简介,对WazWaz所提出的扩展的Tanh方法作了改进,扩大了其使用范围,并用改进后的Tanh方法研究了Log—DBM方程,得到了Log—DBM的丰富的行波解,包括周期波解,奇异孤立波解、双尖峰孤立波解,奇异周期孤立波解。用辅助函数得到了Log—DBM方程的Jacobi椭圆函数解;用拟设法研究了Log-DBM方程的类紧（Like-compact）孤立波解。第三章利用扩展的Jacobi椭圆函数展开法研究了（ZK-MEW）方程,并给出ZK-MEW方程的Jacobi椭圆函数解,特别的,当模数m→0和m→1时,其中一部分解退化为三角函数解和孤立波解;其次使用sn-cn拟设法,研究了K（k,s,1）方程,得到了k=s=3时的新的精确解,并在模数m→0和m→1时得到了丰富的三角函数和孤立波解。第四章将Painleve奇性分析方法应用到带阻尼（damping）项的变系数Burgers方程中,并得到了该类Burgers方程具有Painleve性质的条件,给出了该类Burgers方程的Backlund变换,用所得Backlund变换得到了若干精确孤立波解,包括奇异孤立波解,这些解不等同于行波型孤立波解;用齐次平衡法得到了对数型DBM方程的Backlund变换,并获得了DBM方程的各种孤立波解,包括尖峰孤立波解和奇异尖峰孤立波解。第五章利用Lie群分析法研究了带线性阻尼项的变系数广义Burgers方程。众所周知对称性约化是寻找和分析非线性数学物理方程精确解的有效手段之一。基于Lie群思想的群论法是对称性约化的主要方法。在这一章里,我们用Lie群分析法研究了带线性阻尼项的变系数广义Burgers方程。首先介绍了Lie群分析法的基本思想,其次用Lie群分析法得到了带线性阻尼项的变系数广义Burgers方程的无穷小变换、无穷小算子的李代数结构,并具体求出了带线性阻尼项的变系数广义Burger方程的群不变解和约化方程。在第六章,我们将指数函数法（Exp-function method）应用到一类变系数非线性波方程中,借助计算软件Maple得到了组合变系数KdV-mKdV方程的广义孤立波解。通过研究,我们可以看出指数函数法在研究变系数非线性方程时有其明显的优点,算法简单,并在适当的变换下可得到周期波、奇异波、奇异周期波解和类紧解。第七章是对研究内容的总结和展望。
刘汉泽[6]（2009）在《基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究》文中研究指明偏微分方程又称数学物理方程,它来源于物理学、力学等自然科学及工程技术中所提出并建立的数学模型。早期的偏微分方程有根据牛顿引力理论推导出的描述引力势的拉普拉斯（Laplace）方程和泊松（Poisson）方程,还有描述波的传播的波动方程（wave equation）,描述传热和扩散现象的热传导方程（heat equation）等,这些都是古典的偏微分方程。这些方程在偏微分方程理论的发展中发挥了重要的作用,时至今日,它们仍然是偏微分方程的基础和必学内容之一。自19世纪开始,随着工业革命的兴起和科学技术的发展,相继出现了大量新的偏微分方程,其中最基本的有描述电磁场变化的麦克斯韦方程（组）,描述微观粒子的薛定谔方程,以及爱因斯坦方程、杨-米尔斯方程、反应扩散方程等等。随着现代科学和技术的进步,还将会不断涌现出新的越来越多的偏微分方程,尤其是非线性的偏微分方程或方程组。其中,非线性波方程是描述自然现象的一类重要数学模型,也是非线性数学物理特别是孤立子理论最前沿的研究课题之一。通过对非线性波方程的求解和定性分析的研究,有助于人们弄清系统在非线性作用下的运动变化规律,合理解释相关的自然现象,更加深刻地描述系统的本质特征,极大地推动相关学科如物理学、力学、应用数学以及工程技术的发展。本文以李（S.Lie）对称分析为基础和工具,综合运用动力系统的分支理论与方法、潘勒维尔（Painleve）分析、幂级数法（含推广的幂级数法）、待定系数法以及一些特殊的技巧与方法,研究偏微分方程的精确解及其相关的方程与解的性质。具体而言,即首先运用李对称分析得到方程的向量场或对称,然后利用相似约化将所研究的（非线性）偏微分方程化为常微分方程。这一步对方程而言可以说实现了实质性的转化,即把一个复杂的偏微分方程,包括各种非线性的、变系数的偏微分方程转化为一个常微分方程。接下来的工作就是研究这个常微分方程的解,求出了常微分方程的解,也就相应地得到了偏微分方程的解。这就是利用对称分析研究偏微分方程精确解的基本思路。当然,对称分析的作用远不止此,它与系统的可积性的研究还有着密切的关系,对称是系统本质属性的一种描述和刻画,它在偏微分方程与可积系统的研究中有着重要的意义与作用。这些我们将在研究偏微分方程精确解的同时一并加以介绍。至于如何研究约化得到的常微分方程,则主要涉及常微分方程与动力系统的理论与方法、幂级数法以及一些特殊的技巧与方法。本文的主要内容如下：第一章绪论。本章介绍了非线性科学的主要内容以及发展现状,综述了偏微分方程,尤其是非线性波方程的发展历史、研究现状、主要研究方法以及取得的主要成果。其中重点介绍了偏微分方程研究的主要方法,特别是对称分析在研究偏微分方程中的意义与作用。概括而言,这些方法各有特点,也都有各自的适用范围,都在特定的时期、特定的条件和各自的范围内发挥了应有的作用。有的方法可以说长盛不衰,历久弥新,至今还有强大的生命力,在偏微分方程的研究中仍然发挥着重要的作用。当然,任何一种方法都不是万能的,不会也不可能指望用一种方法解决所有的问题。本章的出发点是对各种主要的方法加以总结回顾,目的不是评判哪种方法的优劣,而是通过比较和总结,更好地继承和发扬其中蕴含的优秀的思想方法,从过去经典的思想与方法中汲取营养,更好地面向未来,进一步更深入地开展对现代偏微分方程及相关非线性科学的研究。第二章理论准备。在这一章,列举了本文所涉及的一些相关知识,如李群与李代数、对称与向量场、向量场的延拓、Painleve分析简介、动力系统的分支理论与方法以及雅可比（Jacobi）椭圆函数等。限于篇幅,有些内容只列出主要概念与结论,详细内容可查阅后面的相关参考文献,此处不展开叙述。单列本章的目的是考虑到李群与对称分析的相关理论与知识比较多,通过本章,对有关的理论知识有所了解,便于后面的具体运用。第三章基于李对称分析,研究了一般的Burgers’方程。该方程是一个既有非线性项又有二阶偏导项的非线性波方程,在理论和实践中有广泛的应用价值。它在一定条件下存在不同类型的孤波解,如冲击（震荡）波、稀疏波等。在流体力学、空气动力学的许多波动问题的研究中都要用到这个方程。例如在流体力学模型方程中,有线性Burgers’方程ut+aux=μuxx和非线性Burgers’方程ut+[f（u）]x=μuxx。当f（u）=1/2u2时,后者即为ut+uux=μuxx。在一定的初、边值条件下,可以得到这两类Burgers’方程的精确解,从而了解系统相应的流体力学性质。另外,Burgers’方程和许多重要的数学物理方程有着密切的联系,在非线性科学、流体力学以及工程技术中起着重要的基础性作用。在对称分析的基础上,首先求出了方程的群不变解以及任意次的迭代解。然后,利用对称约化将原方程化为各种形式的常微分方程,进而求出方程的精确解。其中应用了幂级数法（Power series method）,得到了非线性、非自治的常微分方程严格的幂级数解,从而也就得到了相应的Burgers’方程的精确解,其中包含了不少新的显式精确解。第四章研究推广的mKdV方程,众所周知,KdV方程是非常着名的浅水波方程,它起源于对水波问题的研究,KdV型方程可以描述各种浅水波的运动,在流体力学中有着广泛的应用。特别地,对于修正的KdV型方程,最近的研究发现可用于描述宇宙环境中超新星周围以及土星环的尘埃离子的波动规律,对于天体力学和大气物理的研究有着重要的意义。首先,通过对称分析得到了它的向量场。然后,由一般到特殊地得到了一些特殊而经典的KdV、mKdV方程的向量场。接下来,通过对称约化将推广的mKdV方程化为常微分方程,为下一步求解作准备。本章的一个亮点是运用了动力系统的分支理论与方法,详细全面地得到了推广的mKdV方程的显式精确解,包括幂级数解,同时还研究了系统的动力学性质。第五章研究了一类短脉冲方程的精确解。短脉冲方程也是一类非常重要的非线性波方程,可以描述一些比较特殊的波。深入研究这类方程及其各种孤波解,对于了解一些特殊的波动问题具有重要意义。同时,该方程是一个重要的非线性数学物理方程,它在工程技术以及物理学、力学的许多领域都有重要应用。此方程不同于一般的非线性演化型方程,而是一个混合型的偏微分方程,这给对称分析带来了一定的困难。本章分别运用延拓法与待定系数法,得到了该方程的所有对称。其次,本章的另一特色是在运用动力系统的分支理论与方法研究方程的精确解时,引入了参数表示法,从而圆满地解决了解的显式表示问题。本章获得的这类短脉冲方程的精确解,都是用通常的方法难以得到的。第六章研究了一类变系数债券方程。变系数偏微分方程最初主要来源于数学物理问题及大量的工程技术问题,但是,随着社会的进步和现代科学技术的不断发展,在各种经济社会领域、生物化学与环保领域、通讯信息与金融证券等领域,由于实际的需要也提出了越来越多的偏微分方程,这些方程一般形式复杂,且常常是变系数的。本章研究的变系数方程在金融数学与金融工程中经常用到,尤其是在期权定价问题的研究中,这类偏微分方程发挥着日益重要的作用。偏微分方程理论与现代经济、金融研究相结合,正成为一种重要的发展趋势。首先,对两个具体的变系数债券方程进行了对称分析,分别得出了它们的向量场。然后,又分别求出了它们的单参数群与群不变解。第三,利用相似变换分别将它们约化为常微分方程。第四,进一步求出它们的精确解。本章在内容上与前几章的主要不同之处在于,一是对称分析,由于所研究的方程是变系数的,因此,对称分析要比常系数方程复杂得多。二是在求精确解时除了幂级数法之外,还用了待定系数法等一些特殊方法,从而得到了方程的显式精确解,收到了较好的效果。三是在本章最后,我们还就一般形式的变系数债券方程进行了讨论,得出了它的对称及相应的精确解。第七章研究了三个非线性演化方程。这类方程在非线性科学与工程技术中有着重要的意义与作用,是许多波动问题和力学问题的重要理论模型,在生物数学等领域也有着重要的应用。首先运用Painleve分析得到了它们的Painleve性质,以及相应的Backlund变换、截断展开式等。然后再通过对称分析,分别得到了它们的对称,并通过比较分析了Painleve分析与对称分析的异同。接着研究它们的精确解,除了基于对称分析的精确解,我们还得到了方程的基于Painleve截断展开的精确解。这些解的获得,是单独用任何一种方法所不可能得到的,这也说明了二者结合的意义和作用。另外,通过本章的研究可以发现,对于有些即使是不可积的方程,我们仍然可以利用对称分析与Painleve分析研究它们的精确解。我们知道,在可积系统的研究中,Painleve分析的主要作用是判断系统的可积性,但通过本章可以发现它还可以用于方程求解的研究。对称分析更是如此,无论是否可积,都可以通过对称分析研究方程的精确解。总之,本文研究的对象是偏微分方程,包括各种非线性的、变系数的方程。主要目的是求出方程的解,尤其是显式的精确解。所以,本文所采用的方法与工具与一般孤子与可积系统的研究有所不同,结果也不一样,可以说各有侧重。限于论文的主题,尽管系统的对称与可积性如守恒律（CL）、Backlund变换等有着密切的联系,但对系统的可积性不作过多的讨论,目的是使论文主题更突出。另外,这些方程都是重要的数学物理方程,深入研究这些方程的解及其相关性质,如Painleve性质、可积性以及各种形式的解,尤其是各种显式精确解,对于了解系统所描述的具体问题的性质与规律,有着重要的意义与作用。最后,在总结与展望中,首先概述了本文所获得的主要研究成果；然后,总结归纳了本文的主要创新点；最后,提出了围绕偏微分方程精确解的研究有待于进一步研究与思考的方向和问题。
俞慧友[7]（2009）在《孤子理论及其在玻色爱因斯坦凝聚中的应用》文中研究表明孤子理论是非线性科学的一个重要分支,它在物理学的许多领域中有着日益广泛的应用。孤子的微扰是孤子理论中最有实用价值的重要内容。它大体可以分为两大类。一是建立在逆散射变换基础上的孤子微扰理论。它在理论上有着重要的学术价值,但其思路较迂回曲折,数学计算较繁。另一种直接微扰沦较为系统的方法是将孤子方程线性化后再按Jost函数的平方作微扰展开。这两种方法均只适用于可积系统。近年来,颜家壬教授发展了一种基于分离变量法的孤子微扰理论法,它适用于可积和非可积系统,而且思路和计算较为简便。在此,本文主要基于颜家壬教授的直接孤子微扰方法,通过改进,处理了扭结孤子的微扰问题。同时发展了孤子含时微扰理论。我们也应用这种系统的微扰方法处理了玻色-爱因斯坦凝聚中的孤子微扰问题。玻色-爱因斯坦凝聚也是近几十年来被广泛关注的课题。它不仅提供了一个研究量子力学基本问题的宏观系统,也在原子激光,量子计算等领域有着重要的应用前景。玻色-爱因斯坦凝聚中的暗,亮物质波孤子的成功观测及它们的潜在的应用前景,也使玻色-爱因斯坦凝聚中的物质波孤子成为了当前低温物理和凝聚态物理研究领域的研究热点之一。本人主要是在平均场理论的框架下,以耦合Gross-Pitaevskii方程为主要模型,讨论了其中的多种孤子相互作用问题。全文工作共分为两部分,主要内容如下:第一部分为孤子理论方面,主要介绍三个工作。一、以扭结孤子为例,阐述对基于分离变量法的孤子微扰理论的方法改进。该方法主要是针对暗孤子微扰问题的解决而改进的。我们已用它处理了亮孤子,扭结孤子,暗孤子问题。在亮孤子和扭结孤子微扰问题处理中,发现它的结果与原方法所得结果一致,证明了其有效和正确性。二、基于颜家壬教授的直接微扰理论,我们发展了KdV孤子含时微扰理论。三、将孤子微扰理论由一阶扩展到二阶微扰,并用于一分量玻色-爱因斯坦凝聚中的孤子实际问题。我们所得结果,与前人用逆散射所得结果一致。但方法更清晰,计算更简单。第二部分探讨两分量玻色-爱因斯坦凝聚中的孤子相互作用问题。主要介绍三个工作:一、耦合散焦非线性薛定谔方程中的孤子相互作用问题。从解析和数值模拟方面讨论了孤子之间的相对运动情况。二、对可调节的双种类玻色-爱因斯坦凝聚中的矢量孤子类型的分类,以及稳定性和相互作用情况的讨论。三、对可调节的双种类玻色-爱意斯坦凝聚中,可调种间相互作用,对亮亮孤子相互作用的影响的讨论。最后对本文做了简单的总结和对我们所研究的领域前景的展望。我们的研究工作集中在三、四、六章。
范兴华[8]（2007）在《离散非线性微分—差分晶格系统的孤立波和局域模分析》文中研究指明非线性现象在自然界中既普遍又重要。非线性科学是研究非线性现象共性的一门学问,它的研究主体是孤立子、混沌和分形。许多非线性问题的研究最终可归结为非线性系统来描述。非线性微分-差分晶格系统的部分或全部空间变量是离散的,而通常时间变量是连续的,它是非线性系统中一类重要的系统。非线性系统的精确解对研究相关的非线性问题非常重要。孤立子理论研究的一个主要内容,就是寻求非线性系统的解,特别是孤立波解（包括精确解和数值解）。在过去的大约50年中,非线性科学研究领域颇具特色的新成就之一就是创造了求非线性方程的解特别是孤波解的各种精巧方法。但相对于非线性偏微分方程,非线性微分-差分晶格孤子系统的求解起步较晚,成果也有局限。本文结合孤立子理论的发展方向,围绕非线性微分-差分晶格孤子系统,以数学机械化思想为指导,以计算机代数系统软件和吴方法为工具,研究若干重要的离散非线性微分差分晶格系统的求解问题。提出和改进了一系列求解该类系统的方法,得到了一些具有重要意义的离散非线性微分差分晶格系统丰富的精确解。采用逆方法,建立长程关联离散晶格模型。推广连续Toda晶格模型,得到多种精确孤立波解。首先介绍了孤立子理论的发展历程,微分-差分方程的研究状况。总结和分析了目前人们常用的构造精确解的方法。综述了离散可积Toda晶格和氢键晶格的非线性特性。对经典的Toda晶格孤立子作了详细介绍,分析了Toda双孤子的弹性碰撞。介绍了具次邻耦合的非线性晶格中的几种孤立子。求离散非线性微分-差分晶格系统精确孤立波解的直接方法开始于tanh函数展开法,它假设晶格系统的孤立波解可以表示为tanh双曲正切函数的叠加和组合。本文推广了tanh函数展开法,取组合函数满足Riccati方程,且解的形式同时含有组合函数的正负幂次项,提出修正的F展开法和广义tanh-sech法;将椭圆函数展开法应用到求非线性微分-差分晶格系统孤立波求解中,提出扩展的Jacobi椭圆函数展开法;定义Fibonacci-sec函数,提出了Fibonacci tan-see展开法。应用这三种不同的方法以及扩展的Sine-Gordon展开法研究了各类Toda晶格、离散mKdv晶格,Hybrid晶格、Ablowitz-Ladik晶格和Volterra晶格等,得到了丰富的精确解。利用“辅助方程方法”,将双曲函数展开法推广应用变系数的微分-差分晶格系统,获得了丰富的精确解。研究次邻耦合情形下的局域模是本文的另一方面。采用逆方法,建立具有次邻耦合的长程关联离散Klein-Cordon晶格模型,相对于仅有近邻耦合的离散晶格系统,次邻耦合晶格系统具有更多形式的N—格点compacton解,次邻耦合系数影响N—格点解的稳定性。离散呼吸解在耦合非线性离散Klein-Gordon晶格系统仍存在。通过数值模拟表明,次邻耦合系统中宽孤子稳定而窄孤立子不稳定。在非线性发展方程研究方面,考虑不仅有横向、纵向的运动,并且有相互耦合作用的情形,推广了连续Toda晶格系统。假设横向与纵向运动处于同一量级,应用直接法得到连续Toda晶格系统的compacton,multiplecompacton,peakon等弱激发模式和拟紧孤子解。Compacton在空间有限区域外为零,peakon在其峰或谷处有尖点,而拟紧孤子解的宽度与振幅都取决于速度。在无横向与纵向线性关系假设下,应用扩展的sin-cos法,除一般的孤立波外还得到了特殊的行波解。利用数学软件给出了相应弱激发模式和孤立波的图形。最后给出研究工作总结和后续研究展望。
王登龙[9]（2001）在《原子链中的非线性晶格动力学》文中研究说明近年来，完整晶格的非线性局域问题是晶格动力学的新的热门研究领域。就理论分析而言，单原子链常常因为模型简单、物理图象清晰，并且存在各种线性、非线性元激发而被普遍重视和研究。考虑到最近邻格点间谐振和三次方、四次方非谐相互作用，单原子链中既存在包络孤子，又存在反对称的内部局域模式——扭状、反扭状包络孤子。当计及最近邻相互作用的理论基本成熟后，同时包含高次非谐相互作用和各种长程关联谐振特别是次近邻关联谐振的晶格动力学问题就显得日益重要了。 本文，我们主要通过引进多重尺度，并利用准离散近似方法对单原子链中的晶格动力学作了一些研究。首次得到了一维晶格的CMKdV方程和PDNLS方程，取得了一系列关于一维晶格中的孤立子的动力学性质的一些有意义的结果。全文分为五章：第一章为基本理论，介绍了孤立子的发展历史、多重尺度结合准离散法及其关联近似方法。第二章研究了涉及次近邻谐振和四次非谐相互作用下的单原子链中的波动问题，得到了新的色散关系。且首次推出单原子链中的CMKdV方程，在讨 论考虑次近邻谐振和三次方、四次方非谐相互作用下单原子链 的孤立子时，解释了自局域结构的幅度只取决于点阵中的固有 参数的实验现象。第三章研究了长程关联作用下的单原子链中， 不仅仅在Brillouin边界处存在非传播的内在局域模：而且 Brillouin边界之外也存在非传播的内在局域模。当计及l重近 邻相互作用时，在Brillouin内就有7处存在非传播的孤立子。 第四章，我们研究弱阻尼作用下非线性单原子链中的波动行为， 首次在晶格动力学中得到了参数耗散型非线性Schrodinger方程 oDNLS方程人 以及阻尼对单原子链中孤立子的影响。在最 后一章，总结了我们的研究成果以及对学术进行展望。
刘山亮,王文正,许敬之,姜志进[10]（1995）在《自变陡和三阶色散对飞秒光孤子脉冲的影响》文中研究指明根据我们最近得到的准确的孤子解，讨论了自变陡和三阶色散对飞秒光孤子脉冲的影响．
二、用广田直接法求带高阶修正的扩充的非线性Schrodinger方程的孤子解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、用广田直接法求带高阶修正的扩充的非线性Schrodinger方程的孤子解（论文提纲范文）
（1）非线性麦克斯韦方程最优系统及精确解（论文提纲范文）
| 0 引言 |
| 1 方程（1）的李对称 |
| 2 李代数及最优系统 |
| 3 方程（1）的对称约化及精确解 |
| 3.1 对于情形1,k1V1+k2V2+k4V4 |
| 3.2 对于情形2,k1V1+k3V3+k7V7 |
| 3.3 对于情形3,k1V1+k7V7 |
| 3.4 对于情形4,k2V2+k5V5+k7V7 |
| 4 方程（1）新的精确解的构造 |
| 5 结论 |
（2）非线性演化方程若干种波解的自动推导研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 非线性演化方程的研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 Hirota方法和简单Hirota方法 |
| 2.1 Hirota方法 |
| 2.1.1 利用对数变换求解非线性演化方程的算法 |
| 2.1.2 利用有理变换求解非线性演化方程的算法 |
| 2.1.3 利用复函数变换求解非线性演化方程的算法 |
| 2.2 简单Hirota方法 |
| 第三章 简单Hirota方法的推广 |
| 3.1 简单Hirota方法的局限性及其推广 |
| 3.2 构造非线性演化方程波解的新算法 |
| 3.2.1 利用对数变换求解非线性演化方程的算法 |
| 3.2.2 利用其他变换求解非线性演化方程的算法 |
| 3.3 新算法的应用举例 |
| 第四章 ZASP软件包 |
| 4.1 引入Painleve分析获取变换 |
| 4.2 研发软件包ZASP的技术难点 |
| 4.3 对软件包ZASP各个模块的介绍 |
| 4.3.1 输入接口 |
| 4.3.2 初始化操作 |
| 4.3.3 确定阶数 |
| 4.3.4 构造变换 |
| 4.3.5 确定色散关系 |
| 4.3.6 构造波解 |
| 4.4 软件包ZASP的应用 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 作总结 |
| 5.2 工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的或即将发表的论文情况 |
（3）超常介质中孤子和行波的产生与传播研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题背景与意义 |
| 1.2 光孤子 |
| 1.2.1 孤子的历史渊源 |
| 1.2.2 光孤子研究进展 |
| 1.2.2.1 空间光孤子 |
| 1.2.2.2 时间光孤子 |
| 1.3 常规介质中光脉冲传输模型的解和非线性效应 |
| 1.4 超常介质中光脉冲传输模型和传输特性研究进展 |
| 1.4.1 超常介质的特性与构造 |
| 1.4.2 传输模型和传输特性的研究进展 |
| 1.5 本文框架 |
| 第2章 超常介质中光脉冲传输的物理模型和求解方法 |
| 2.1 超常介质中高阶非线性薛定谔方程 |
| 2.2 超常介质中短脉冲方程 |
| 2.3 求解光脉冲传输方程的数学方法 |
| 2.3.1 反散射方法 |
| 2.3.2 巴克伦变换和达布变换法 |
| 2.3.3 广田双线性法 |
| 2.3.4 对称约化法 |
| 2.3.5 齐次平衡法 |
| 2.3.6 双曲正切函数法及其延拓的其它解法 |
| 2.4 小结 |
| 第3章 超常介质中调制不稳定性的产生及其调控 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 超常介质中高阶非线性薛定谔方程的调制不稳定性 |
| 3.2.1 高阶非线性薛定谔方程的色散关系 |
| 3.2.2 反常自陡峭和高阶非线性效应对调制不稳定性的影响 |
| 3.3 光子晶体近自准直频率处的调制不稳定性 |
| 3.3.1 非线性衍射效应替换非线性效应后其对调制不稳定性的影响 |
| 3.3.2 非线性衍射效应替换线性衍射效应后其对调制不稳定性的影响 |
| 3.3.3 非线性衍射效应和可调自准直频率对调制不稳定性的影响 |
| 3.4 小结 |
| 第4章 超常介质中高阶非线性薛定谔方程的行波解 |
| 4.1 高阶非线性薛定谔方程的Riccati方程求法 |
| 4.2 亮孤子和暗孤子 |
| 4.2.1 正折射区的孤子 |
| 4.2.1.1 反常色散区 |
| 4.2.1.2 零色散区 |
| 4.2.2 负折射区的孤子 |
| 4.2.2.1 反常色散区 |
| 4.2.2.2 正常色散区 |
| 4.2.2.3 零色散区 |
| 4.3 高阶非线性薛定谔方程的其它行波解 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 超常介质中短脉冲方程的孤子解和行波解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 短脉冲方程的局部有界解 |
| 5.3 短脉冲方程的全局有界解 |
| 5.4 小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录A 攻读博士学位期间已发表与待发表的论文 |
| 附录B Riccati方程的各种解 |
| 附录C 攻读博士学位期间参与的科研项目 |
| 致谢 |
（4）论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究数学史的新方法论 |
| §1.2 吴方法和吴消元法的发明 |
| §1.3 吴消元法与非线性发展方程的求解方法 |
| §1.4 本文的主要工作 |
| 第二章 概述吴消元法的发明历史 |
| §2.1 曲折的数学之路(1919年—1945年) |
| §2.2 吴文俊与拓扑学(1945年—1958年) |
| §2.3 研究"对策论"的中国第一人(1958年—1974年) |
| §2.4 吴文俊与研究数学史的新方法论(1974年—) |
| §2.5 简单回顾发明计算机的历史 |
| §2.6 简单回顾西方数学机械化思想的发展历史 |
| §2.7 吴文俊与数学机械化纲领(1976年—) |
| 第三章 简述建立孤子方程求解方法历史与孤立子理论的研究意义 |
| §3.1 简单回顾孤立子理论建立历史上的几件大事 |
| §3.2 概述非线性发展方程求解方法发展历史(1967年—现在) |
| §3.3 孤立子理论的研究意义 |
| 第四章 试探函数法的两大特点与非线性差分微分方程的新精确解 |
| §4.1 试探函数法的两大特点 |
| §4.2 试探函数法的扩展应用 |
| 第五章 辅助方程法的发展历史研究 |
| §5.1 "辅助方程法"思想 |
| §5.2 Riccati方程法与非线性发展方程的精确解 |
| §5.3 辅助方程法的思想基础与来源 |
| §5.4 辅助方程法两大特点与非线性发展方程的新精确解 |
| 第六章 辅助方程法的两大特点与非线性发展方程的无穷序列新精确解 |
| §6.1 辅助方程法两大特点的进一步研究 |
| §6.2 Riccati方程法的新应用 |
| §6.3 第二种椭圆辅助方程法的新应用 |
| §6.1 第二种椭圆辅助方程与Riccati方程相结合的方法与应用 |
| §6.5 三角函数型轴助方程法与双曲函数型辅助方程法的新应用 |
| §6.6 几种辅助方程的Backlund变换及其应用 |
| §6.7 第一种椭圆辅助方程与非线性发展方程的新类型无穷序列精确解 |
| §6.8 辅助方程法的发展阶段 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间获得的研究成果 |
| 致谢 |
（5）若干非线性波方程的构造性求解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究进展 |
| 1.3 研究方法介绍 |
| 1.3.1 直接代数法 |
| 1.3.2 Painleve可积性 |
| 1.3.3 Lie群与对称约化 |
| 1.4 本文的研究意义 |
| 第二章 非线性波方程的奇异和周期孤立波解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 DBM方程和LOG-DBM方程 |
| 2.3 改进的扩展TANH方法及其在LOG-DBM方程中的应用 |
| 2.3.1 改进的扩展Tanh方法 |
| 2.3.2 改进的扩展Tanh方法在DBM方程和Log-DBM方程中的应用 |
| 2.4 辅助函数法及其在LOG-DBM方程中的应用 |
| 2.4.1 辅助函数法与第一类椭圆积分 |
| 2.4.2 辅助函数法在DBM方程和Log-DBM方程中的应用 |
| 2.5 LOG-DBM方程的类紧和SOLITARY PATTERNS-LIKE解 |
| 2.6 强色散DGH方程的类紧和SOLITARY PATTERNS-LIKE解 |
| 2.6.1 引言 |
| 2.6.2 广义强色散DGH方程的类紧和solitary patterns-like解 |
| 2.7 本章总结 |
| 第三章 非线性波方程的Jacobi椭圆函数解 |
| 3.1 扩展的JACOBI椭圆函数展开法 |
| 3.2 ZK-MEW方程 |
| 3.2.1 当Y=Y(ξ)=snξ=sn(ξ,m)时 |
| 3.2.2 当Y=Y(ξ)=dnξ=dn(ξ,m)时 |
| 3.2.3 当Y=Y(ξ):cnξ=cn(ξ,m)时 |
| 3.3 SN-CN法及K(M,N,1)方程新的紧致和非紧致解 |
| 3.3.1 sn-cn法 |
| 3.3.2 K(m,n,1)方程 |
| 3.4 本章总结 |
| 第四章 非线性波方程的Painleve分析、齐次平衡法与Backlund变换 |
| 4.1 Painleve分析的基本理论 |
| 4.2 带阻尼项的变系数(1+1)维BURGERS方程PAINLEVE分析 |
| 4.2.1 Painleve可积性 |
| 4.2.2 Backlund变换 |
| 4.2.3 精确孤立波解 |
| 4.3 DBM方程的齐次平衡法与BACKLUND变换 |
| 4.4 本章总结 |
| 第五章 带线性阻尼项的变系数广义Burger方程的Lie群分析 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 带线性阻尼项的变系数广义BURGER方程的LIE对称群 |
| 5.3 相似变量与约化方程 |
| 5.4 本章总结 |
| 第六章 指数展开法与广义孤立波解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 指数函数法的介绍 |
| 6.3 变系数组合KDV-MKDV方程的广义孤立波解与周期解 |
| 6.4 本章总结 |
| 第七章 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 攻研期间的研究成果 |
| 致谢 |
（6）基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性科学研究的基本概况 |
| 1.2 孤立波与孤立子 |
| 1.3 偏微分方程求解方法概述 |
| 1.3.1 付里叶(Fourier)变换和拉普拉斯(Laplace)变换法 |
| 1.3.2 贝克隆(Backlund)变换和达布(Darboux)变换法 |
| 1.3.3 反散射方法 |
| 1.3.4 分离变量法 |
| 1.3.5 广田(Hirota)双线性法和齐次平衡法 |
| 1.3.6 其他方法简介 |
| 1.4 偏微分方程与可积系统研究 |
| 1.5 偏微分方程的定性和稳定性研究 |
| 1.5.1 偏微分方程与动力系统 |
| 1.5.2 偏微分方程的定性研究 |
| 1.5.3 偏微分方程的稳定性研究 |
| 1.6 李对称与相似约化研究综述 |
| 1.7 本文的主要工作 |
| 第二章 理论准备 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 微分流形 |
| 2.3 李群及其李代数简介 |
| 2.4 不变群与向量场、向量场的延拓 |
| 2.5 对称与待定系数法 |
| 2.6 微分方程与动力系统 |
| 2.6.1 二维可积系统 |
| 2.6.2 研究非线性方程的动力系统方法 |
| 2.6.3 雅可比(Jacobi)椭圆函数 |
| 2.7 潘勒维尔(Painleve)分析简介 |
| 2.8 本章小结 |
| 第三章 Burgers'方程的对称分析与精确解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 方程(3.1)的对称分析 |
| 3.3 方程(3.1)的对称约化与精确解 |
| 3.3.1 Burgers'方程的迭代解 |
| 3.3.2 Burgers'方程的约化解 |
| 3.4 基于幂级数法的方程(3.1)的精确解 |
| 3.5 本章小结与评注 |
| 第四章 推广的mKdV方程的对称分析、动力系统研究和精确解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 推广的mKdV方程的对称分析 |
| 4.3 推广的mKdV方程的行波解 |
| 4.3.1 方程(4.1)的行波变换 |
| 4.3.2 系统(4.5)相图分支 |
| 4.3.3 方程(4.1)的精确行波解 |
| 4.4 推广的mKdV方程的严格幂级数解 |
| 4.5 本章小结与注释 |
| 第五章 短脉冲方程的对称分析、动力系统分析与精确解 |
| 5.1 引言及预备知识 |
| 5.2 短脉冲方程的对称分析 |
| 5.3 对称的待定系数法 |
| 5.4 短脉冲方程的精确行波解 |
| 5.5 短脉冲方程的精确幂级数解 |
| 5.6 本章小结与注释 |
| 第六章 变系数债券方程的对称分析与精确解 |
| 6.1 引言及预备知识 |
| 6.2 债券方程的对称分析 |
| 6.3 对称约化与方程的精确解 |
| 6.4 方程的精确幂级数解 |
| 6.5 进一步的讨论 |
| 6.6 本章小结与注释 |
| 第七章 非线性演化方程的Painleve分析、对称与精确解 |
| 7.1 引言与预备知识 |
| 7.2 非线性演化方程的Painleve分析 |
| 7.3 三个非线性演化方程的对称分析 |
| 7.4 非线性演化方程的对称约化与精确解 |
| 7.4.1 非线性演化方程的行波解 |
| 7.4.2 非线性演化方程的其它约化解 |
| 7.5 非线性演化方程的其它精确解 |
| 7.5.1 非线性演化方程精确的幂级数解 |
| 7.5.2 基于Painleve截断展式的非线性演化方程的精确解 |
| 7.6 本章小结与注释 |
| 第八章 总结与展望 |
| 8.1 主要研究结果 |
| 8.2 主要创新点 |
| 8.3 研究展望 |
| 参考文献 |
| (一) 攻读博士学位期间接受发表的学术论文 |
| (二) 攻读博士学位前发表的部分论文 |
| 致谢 |
（7）孤子理论及其在玻色爱因斯坦凝聚中的应用（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 前言 |
| 1.2 本文的工作 |
| 第二章 孤立子及其理论方法论述 |
| 2.1 孤立波和孤立子 |
| 2.2 孤子理论概述 |
| 2.2.1 孤子精确解求解方法概述 |
| 2.2.2 孤子微扰理论 |
| 第三章 非线性薛定谔方程的微扰理论 |
| 3.1 前言 |
| 3.2 非线性薛定谔方程直接法微扰理论 |
| 3.3 改进的 NLS 方程的直接法 |
| 第四章 一维非线性方程含时孤子微扰问题及空间周期性变化微扰问题 |
| 4.1 一维非线性方程含时孤子微扰问题 |
| 4.2 非线性薛定谔方程的二阶微扰:非局域周期性势中的孤子问题 |
| 第五章 玻色-爱因斯坦凝聚及其中的孤子问题 |
| 5.1 玻色-爱因斯坦凝聚及其实现 |
| 5.2 基本理论:Gross-Pitaevskii(GP)方程 |
| 5.3 两分量玻色-爱因斯坦凝聚 |
| 5.4 玻色-爱因斯坦凝聚体中的孤子 |
| 第六章 两分量玻色-爱因斯坦凝聚体中的孤子相互作用 |
| 6.1 耦合散焦非线性薛定谔方程中的孤子相互作用 |
| 6.2 可调相互作用的双种类 BEC 中的孤子相互问题之一 |
| 6.3 可调相互作用的双种类 BEC 中的孤子相互问题之二 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 工作总结 |
| 7.2 工作展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的论文 |
| 致谢 |
（8）离散非线性微分—差分晶格系统的孤立波和局域模分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 非线性系统求解方法简介 |
| 1.3 离散微分-差分晶格系统的研究状态 |
| 1.4 本课题的研究意义 |
| 第二章 晶格振动的非线性特性及孤立子 |
| 2.1 Toda晶格的非线性激发和Toda孤子 |
| 2.2 阶梯电路中的Toda晶格方程 |
| 2.3 氢键晶格中的孤子 |
| 2.4 非线性晶格中的孤立子 |
| 第三章 Toda晶格和变系数微分-差分晶格系统的孤立波 |
| 3.1 求解微分-差分方程的tanh函数法 |
| 3.2 Toda晶格的孤立波解 |
| 3.3 变系数离散微分-差分晶格方程的精确解 |
| 第四章 微分-差分晶格系统的广义tanh-Sech法 |
| 4.1 微分-差分晶格系统的广义tanh-sech法 |
| 4.2 离散Hybrid晶格的孤波解 |
| 4.3 某些微分-差分晶格系统的孤波解 |
| 第五章 微分-差分晶格系统的双周期波 |
| 5.1 Jacobi椭圆函数有理展开 |
| 5.2 扩展Jacobi椭圆函数展开法 |
| 5.3 离散mKdV晶格方程的双周期解 |
| 5.4 广义离散mKdV晶格的双周期孤立波解 |
| 第六章 微分-差分晶格系统的Fibonacci tan-sec展开法 |
| 6.1 Fibonacci tane-sec函数 |
| 6.2 微分-差分晶格系统的Fibonacci tan-sec法 |
| 6.3 几个离散晶格方程的精确解 |
| 第七章 次邻耦合非线性离散Klein-Gordon晶格的局域模 |
| 7.1 非简谐振动晶格的自局域模的传播 |
| 7.2 具次邻耦合非线性离散Klein-Gordon模型中的N-格点紧孤子解 |
| 7.3 次邻耦合非线性离散Klein-Gordon晶格系统的呼吸子解 |
| 第八章 Toda连续晶格系统的新型孤立波 |
| 8.1 从离散晶格方程到Toda连续晶格系统 |
| 8.2 Toda连续晶格系统的compacton解和多域compacton解 |
| 8.3 Toda连续晶格系统的尖峰孤立波 |
| 8.4 Toda连续晶格系统的精确解 |
| 8.5 Toda连续晶格系统的拟紧孤子解 |
| 第九章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
（9）原子链中的非线性晶格动力学（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 前 言 |
| 第一章 基本理论 |
| 第一节 孤立波与非线性方程 |
| 第二节 多重尺度结合准离散性近似 |
| 第三节 参数偏激法 |
| 第四节 Fourier级数的公式 |
| 第二章 考虑次近邻相互作用下单原子链中的孤立波 |
| 第一节 引言 |
| 第二节 受到次近邻谐振和四次非谐相互作用下的单原子链中的孤立子 |
| 第三节 受到次近邻谐振和三次、四次非谐相互作用下的单原子链中的孤立子 |
| 第四节 本章小结 |
| 第三章 长程关联作用对单原子链中孤子的影响 |
| 第一节 模型的建立 |
| 第二节 计及长程谐振和三次、四次非谐相互作用下的单原子链中的孤立子 |
| 第三节 结论 |
| 第四章 阻尼作用下单原子链中的孤立子 |
| 第一节 受到阻尼作用的单原子链的运动方程 |
| 第二节 受到阻尼系数为O（ε）级作用的非线性单原子链的孤立子 |
| 第三节 受到阻尼系数为O（ε~2）级作用的非线性单原子链的孤立子 |
| 第四节 结 论 |
| 第五章 总结和展望 |
| 第一节 总结 |
| 第二节 展望 |
| 参考文献 |
| 主要符号说明 |
| 攻读硕士期间所获成果 |
| 致谢 |
四、用广田直接法求带高阶修正的扩充的非线性Schrodinger方程的孤子解（论文参考文献）
- [1]非线性麦克斯韦方程最优系统及精确解[J]. 郭增鑫,胡彦鑫,辛祥鹏. 聊城大学学报(自然科学版), 2021(04)
- [2]非线性演化方程若干种波解的自动推导研究[D]. 赵文强. 华东师范大学, 2016(09)
- [3]超常介质中孤子和行波的产生与传播研究[D]. 庄彬先. 湖南大学, 2014(03)
- [4]论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进[D]. 套格图桑. 内蒙古师范大学, 2011(10)
- [5]若干非线性波方程的构造性求解研究[D]. 张纬民. 江苏大学, 2009(10)
- [6]基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究[D]. 刘汉泽. 昆明理工大学, 2009(12)
- [7]孤子理论及其在玻色爱因斯坦凝聚中的应用[D]. 俞慧友. 湖南师范大学, 2009(10)
- [8]离散非线性微分—差分晶格系统的孤立波和局域模分析[D]. 范兴华. 江苏大学, 2007(07)
- [9]原子链中的非线性晶格动力学[D]. 王登龙. 湘潭大学, 2001(01)
- [10]自变陡和三阶色散对飞秒光孤子脉冲的影响[J]. 刘山亮,王文正,许敬之,姜志进. 聊城师院学报(自然科学版), 1995(02)