一、非齐次偏微分方程混合问题的形式解（论文文献综述）
钱光耀,闫若琨,汪泽西,郑神州[1]（2021）在《格林函数以及在常微分方程中的应用》文中提出本文综述了各种常用的常微分方程初、边值问题解的格林函数表示以及格林函数的计算法.对于一阶线性常微分方程初值问题,给出格林函数计算公式以及解的格林函数表示;对于二阶线性常微分方程的边值问题和初值问题,给出格林函数计算格式,以及解的格林函数表示;对于满足一般初值条件的Sturm-Liouville问题给出解的格林函数卷积表示和格林函数计算法;对于二阶线性常微分方程的非混合和混合边值问题考虑了解的格林函数表示和格林函数计算法;最后,给出了高阶线性常微分方程边值问题解的表示和其格林函数算法.
危苏婷[2]（2021）在《常微分方程理论在“数学物理方程”课程中的应用》文中研究说明偏微分方程求解既是"数学物理方程"课程教学的主体内容,又是课堂教学的重难点。求解偏微分方程的方法有很多,如特征线法、波的反射原理、分离变量法、格林函数法、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。学会求解一些简单的偏微分方程是数学专业学生学好"数学物理方程"课程乃至为以后继续深造打下基础的关键。因此,揭示偏微分方程求解方法中所蕴含的数学思想,帮助学生系统而深入地掌握求解的方法显得尤为重要。以方程特殊形式解的求解、分离变量法、傅里叶变换法为例,结合具体的定解问题求解来阐述将偏微分方程问题化归为常微分方程问题这一思想在偏微分方程求解中的应用。
刘建国[3]（2021）在《非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究》文中提出非线性偏微分方程可以被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题,是现代数学的一个重要分支。本文主要利用Hirota双线性方法、（G’/G）-展开法、变系数齐次平衡法、三波法和符号计算方法研究非线性偏微分方程的精确解以及动力学性质,包括lump解、怪波解和周期解等。本文的主要内容和安排如下:第一章主要介绍了非线性偏微分精确解的一些重要分类,包括了孤立波、怪波、lump波以及呼吸子。介绍了本文需要使用的一些基本的方法,包括了 Hirota双线性方法、Bell多项式和Backlund变换。第二章首先介绍了 lump解的求解方法和步骤。随后利用这个方法获得了（3+1）维孤子方程的lump解,分别讨论了 lump解和孤子之间的交互作用以及lump解和周期解之间的交互作用。获得了（2+1）维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov方程的lump解,讨论了 lump解与孤子解之间的交互作用。随后对lump解的求解方法进行了修正,使之适合求解变系数非线性偏微分方程,这个工作尚未在其他文献中讨论。利用修正后的求解方法获得了（3+1）维广义变系数Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的lump解并对其动力学性质进行了分析。列出了（2+1）维变系数KP方程的lump解,并讨论了 lump解与单孤子、双孤子之间的交互作用。第三章研究了一个（2+1）维破裂孤子方程,该方程描述了沿y轴传播的Riemann波与长波的（2+1）维相互作用。利用一个特殊的ansatz函数和Hirota双线性形式,获得了（2+1）维破裂孤子方程的一些全新的双周期孤子解,并通过大量的三维图形展示了解的动力学性质。第四章研究 了一个（3+1）维 Boiti-Leon-Manna-Pempinelli 方程,该方程在流体和等离子体动力学有重要的应用。沿x轴传播的长波可以被视为不可压缩流体的模型。基于（G’/G）-展开法和符号计算,得到了（3+1）维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程丰富的双曲函数和三角函数形式的精确解。通过一些图形显示了特定的局部激发和两个孤立波之间的相互作用。第五章研究了一个（3+1）维广义浅水波方程,该方程在天气模拟、潮汐波、河流和灌溉水流、海啸预报等方面有着广泛的应用。基于扩展的变系数齐次平衡法和两个新的ansatz函数,构造了（3+1）维广义浅水波方程的自Backlund变换、非行波孤子型解和多周期孤子解,包括了周期交叉扭结波,周期双孤波和两个孤立波的呼吸类型解。此外还有交叉扭结三孤子和交叉扭结四孤子解并讨论了所得解的传播特性和相互作用。第六章通过三波法研究了新的（3+1）维广义KP方程、（2+1）维Ito方程以及新的（2+1）维Korteweg-de Vries方程的精确解。并在三波法的基础上进行了推广使之能够应用到变系数非线性偏微分方程。以（3+1）维广义变系数浅水波方程为例,获得大量新的精确解。第七章提出了一种改进的符号计算方法。通过使用改进的符号计算方法,获得了广义（2+1）维Boussinesq方程和变系数KP方程的多怪波解。这些获得的多怪波解的动力学特征以三维图形和等高线图进行了展示。与原始符号计算方法相比,我们的方法不需要找到非线性系统的Hirota双线性形式。第八章对本文的主要内容和创新工作进行了总结,展望了未来的研究方向。
马宗立[4]（2020）在《带有时间依赖系数热传导方程与积分方程反问题研究以及变分迭代法应用》文中进行了进一步梳理本文从逆时热传导问题入手,探索不适定问题的正则化方法与数值解法。重点研究的是二维区域上带有时间独立系数的非齐次逆时热传导问题的正则化方法、第一类积分方程的正则化方法,并给出正则解的数值实验方法。对于一般区域上带有仅时间依赖系数的逆时问题,我们采用对数凸方法得到解的条件稳定性。对于二维圆域上带有仅时间依赖系数的逆时问题,通过变换,得到了解的形式表示,分别给出了两种正则化方法,每一种方法都给出了修正解的稳定性及收敛性,得到了相应的误差估计。由于逆时问题的严重不适定性,正则解稳定效果不仅要依赖于误差水平,还会受到舍入误差及截断误差的影响,这给数值计算带来困难。为了寻求反问题的计算方法,本文研究变分迭代法,给出收敛性结论,并用其求解零阶项带有仅时间依赖未知系数热传导方程的第一类边值问题及第二类边值问题,在小范围内均得到了较好的收敛结果。而对较大范围的收敛问题,我们引入逐步变分迭代法,并将之与变分迭代法做了比较,利用逐步变分迭代法,在求解具有非线性源项的热传导参数识别问题,即使在较大范围上都得到了较好的收敛结果。此外,本文还尝试将变分迭代法与逐步变分迭代法用在求解非线性逆时热传导问题中,并用数值算例分析比较了各自的逼近效果。文章最后,我们构建了逆时问题的正则化方程,利用变分迭代法对正则化方程进行了求解,从而得到了正则解的数值逼近。变分迭代法的收敛性保证了该方法的可行性,数值算例检验了方法的有效性,计算效率体现了方法的优越性。我们将第一类Fredholm及Volterra积分方程分别转化为相应的第二类积分方程进行修正,并得到了修正解的稳定性。对第一类Fredholm积分方程,利用变分迭代法,通过最优拉格朗日乘子的选取,我们建立了修正方程的迭代格式,并在允许的正则化参数选取范围下,对具有扰动观测数据的方程进行了数值检验,得到了令人满意的逼近效果。对第一类Volterra积分方程,我们建立了修正解的迭代序列,利用数值算例检验方法的有效性,且比较了不同拉格朗日乘子下修正解的逼近效果。本文中,针对逆时问题的正则化方法数值检验较困难的问题,我们研究了变分迭代法,并将之用于拟逆正则化方法进行数值检验,得到了较好的检验效果。同时,我们还将之用于对第一类积分方程的正则化问题进行了检验,同样得到了较满意的效果,从而验证了变分迭代法在研究一些正则化问题上是行之有效的。
刘晓艳[5]（2020）在《基于器官图像重构中的径向基无网格方法应用研究》文中研究表明近几年,医学图像的三维重建及可视化的研究日益增多,具有重要的学术意义和应用价值。华盛顿大学医学院在研究人体器官成像的过程中使用了无网格方法中的基本解方法（MFS）,并在临床实验中取得了显着的效果。前期已经通过在人体表面分布电极采样心脏数据,得到三维心脏图像,可及时发现心脏异常。他们现在研究孕妇早产预防,如果使用相同的技术也可以得到子宫的三维图像,检测胎儿的异常情况,但存在对胎儿构成伤害的风险,故希望尽量减少辐射,同时降低成本,并只在孕妇腹部位置采集表面数据,最终能够呈现完整子宫的三维图像。基于这个问题,本研究进行了数值实验的可行性探索。我们提出了一种基于离散数据点的偏微分方程三维隐式表面重构算法。采用径向基函数（RBF）近似特解法（MAPS）求解具有常Dirichlet边界条件的修正Helmholtz或Poisson方程。当某一区域的数据点丢失时,我们还考虑修复表面,并研究了表面重构最佳参数的选择。最后我们将研究对象扩展到不规则复杂表面的情况,通过构造特殊内部点作为辅助计算,高效重构了复杂表面。本研究的主要内容和结果如下:（1）给出了Helmholtz型偏微分方程的闭型特殊解。在图像重构中用到的MAPS方法需要相关算子对应径向基函数的特解。本文给出了Helmholtz型偏微分方程的闭型特殊解,这些都是使用Matern函数显式导出的,这种特殊解的推导进一步推广到二维和三维Helmholtz型算子的乘积情形。主要思想是将特殊解的推导与相关微分算子已知的基本解联系起来,利用新导出的特殊解,求解Helmholtz型方程的边值问题。采用留一交叉验证（LOOCV）算法为Matern基函数选择合适的形参。同时为避免MAPS数据量较大时可能产生病态稠密矩阵,我们使用了局部MAPS（LMAPS）,并检验了两种方法的有效性。（2）提出了一种基于偏微分方程的三维隐式表面重建算法。本研究提出通过求解具有常Dirichlet边界条件（=1）的非齐次修正Helmholtz方程,重建由一组点数据定义的三维曲面。MAPS由于其有效性和简单性,被选择为数值方法。我们提出的PDE模型是非齐次的,需要内部配置点,而这些内部点很容易得到。此外,我们还发现对简单图像内部点的数目和位置对曲面的重建影响不大。在我们的模型中,只需要几个内部点就足够了。适当选择PDE强迫项1)(（3）,PDE的解的值将在>1的区域外继续扩展。由于<1在区域内,>1在区域外,且PDE的解是连续的,因此存在解=1,这就是给定区域的曲面。因此,可以通过在包含区域的边界框中找到=1的所有点来识别隐式曲面。（3）器官图像的重构和修复。扫描装置可以方便地获取腹部的数据点。由于子宫位于腹部内,数据点很难获得,如果由腹部点推测子宫数据点,很大一部分数据点是不可用的,使用不完整的数据直接重构会导致顶部和底部的截面。在子宫顶部和底部添加两个增广点后,我们可以恢复大部分缺失的表面。如果是子宫一侧的数据点丢失,重构时会出现一个大洞。为了修补这个洞,我们选择了在=0.98的水平面上用PDE求解而不是=1的等高面。孔洞消失了,但整体表面略有缩小。牙齿的重构实验让我们知道内部点选取的重要性。（4）不规则复杂图像的重构。这是一个具有挑战性的问题,我们选择斯坦福兔子、手、头、龙这些表面凹凸并包含尖锐顶点的图像作为实验对象。由于是全局方法,结果矩阵是稠密的,我们只能处理有限数量的数据点。重构过程中需要选择一些特殊的内部点:一种方法是随机选择边界点,并将法线向内施加以生成这些内部点;另一种方法是利用“3D范式和曲率”估计稀疏三维点的法线,我们将使用这些法线来生成内部点。在凹凸性较大的位置提取多的内部点,并将PDE中的参数λ设置较大的值,可有效完成图像重构,否则重构的图像就会出现伪表面。综上所述,使用本课题提出的隐式表面重建算法,可有效重构各类型区域,在三维曲面重构中发挥作用。
蒋君[6]（2020）在《分数阶变分问题的最优性条件、Noether定理与分数阶微分方程的精确解》文中指出分数阶微积分在多个领域有着重要应用,是当今热点问题。研究发现地震强度预测系统和微观粒子运动系统等系统用分数阶对数函数模型来表示,比整数阶模型更有效;多变量分数阶控制器和多变量分数阶干扰观测器比整数阶情形精度更高,抗干扰性更强。本文主要研究了单变量分数阶对数函数泛函和多变量分数阶泛函变分问题的最优性条件和Noether定理。同时为了得到最优性条件和Noether定理对应的分数阶微分方程的精确解,本文研究了不变子空间法和改进的子方程法,并得到了一些经典分数阶微分方程的精确解。具体内容如下。1.对于含整数阶导数和Caputo分数阶导数的对数函数Lagrange泛函,利用分数阶变分原理,得到了Hamilton原理和Euler-Lagrange方程。研究了分数阶对数函数Lagrange泛函的Noether对称性,给出了泛函的变分基本公式,并利用无穷小群变换得到了该泛函的Noether对称性和Noether拟对称性的判定定理。得到了该泛函的Noether定理和Noether逆定理,建立了Noether对称与守恒量之间的内在关系。2.建立了含Riemann-Liouville分数阶偏导数、Riemann-Liouville分数阶偏积分和Caputo分数阶偏导数的分部积分公式。对于含Riemann-Liouville分数阶偏导数、Riemann-Liouville分数阶偏积分和Caputo分数阶偏导数的泛函,利用分数阶变分原理,给出了泛函取得极值的一阶必要条件Ostrogradsky方程,给出了泛函取得极值的二阶必要条件Legendre条件。同时讨论了在完整约束条件下和等周约束下该泛函分别取得极值的必要条件。最后研究了该泛函Noether对称性的必要条件。3.建立了求解Caputo分数阶偏导数意义下的含分数阶混合偏导数的时间-空间分数阶偏微分方程的不变子空间法。通过构造幂函数、Mittag-Leffler函数为方程的不变子空间并结合分数阶Laplace变换求解了分数阶扩散方程、带有吸收项的分数阶波动微分方程、广义带有吸收项的分数阶波动微分方程、分数阶色散方程和分数阶非线性热方程的精确解和初值问题。并用此法求解了两个含混合偏导数的二阶微分方程,广义双曲热传导方程和Fokker-Planck方程。4.用改进的子方程法求解了修正的Riemann–Liouville分数阶导数意义下的微分方程的精确解。此法通过分数阶复变换,将分数阶微分方程转化为整数阶常微分方程,然后运用齐次平衡法和maple软件,得到了分数阶微分方程的精确解。运用此法求解了广义时间分数阶生物种群模型、广义时间分数阶复合Kd V-Burgers方程、时间-空间分数阶正则长波方程和广义（3+1）维时间-空间分数阶Zakharov-Kuznetsov方程的精确解。
申亚丽[7]（2019）在《非线性局域波及其动力学分析》文中研究说明随着非线性科学的不断发展,大量新的非线性系统在各个学科不断涌现,利用计算机大容量、高速度的特点,借助精确的符号计算,建立适合于所考虑问题的构造性研究算法,在计算机上实现若干非线性问题研究成果的机械化输出和非线性现象的可视化模拟,仍然是数学机械化发展的主要方向.本文以若干非线性系统为研究对象,借助符号计算系统Maple,展开非线性局域波求解方法及其动力学性质的研究.主要工作包括如下四部分:第一部分,结合Hirota双线性方法对原Backlund变换方法进行修正,给出了构造广义双线性Backlund变换以及利用广义双线性Backlund变换构造非线性局域波的算法,利用该算法研究了三个高维的重要数学物理模型.给出了它们的双线性形式,研究广义双线性Backlund变换与非线性局域波的关系,构造了它们的广义双线性Backlund变换,获得了它们的若干非线性局域波解.第二部分,从Lax方程和零曲率方程出发,编制了 Lax对的自动验证软件包Laxpairtest.基于验证正确的Lax对,构造了一个新近提出的重要的非局部非线性可积系统AB-NLS的n阶Darboux变换,进而通过Darboux变换获得了该系统的1-孤子和2-孤子解.给出了解的三维演化图,分析了其动力学行为.最后,根据Jacobi椭圆函数构建了 AB-NLS系统的周期解.第三部分,将一个新的辅助二次函数的解和双线性变换有机结合,构造获得了高维非线性系统,即4+1维Fokas方程新的lump解;分析了解在不同参数条件下呈现的亮lump波和暗lump波;结合极值理论讨论了 lump波的动力学性质,获得了不同情形下lump波的振幅极值和极值点.进而,提出一种新的符号计算方法,利用该方法研究获得了两个高维非线性系统的带有控制中心的高阶怪波解,分析了解的渐近行为.该方法可直接有效地为高阶怪波的构造提供新的思路.第四部分,综合多种经典方法并结合一些新方法,首次研究获得了带源KdV方程众多非线性局域波解;利用经典Lie群对称法,并借助符号计算系统Maple首次得到了该方程的对称群,基于群不变理论,获得该方程的群不变解;最后,利用Painleve截断展开方法综合研究了该方程的Painleve性质,获得了其Laurent展开形式的解.在得到的三个分支中,通过截断展开式,获得KdV-SCS方程的Backlund变换。
胡玉博[8]（2020）在《间断初值Burgers方程和Navier-Stokes方程奇摄动解及其在等离子体中的应用》文中指出首先讨论激光脉冲信号产生的小振幅声波在弱阻尼介质中传播的问题,得到间断初值的奇摄动线性混合型波方程;其次讨论激光等离子体产生有限振幅波传播的模型,得到初值是阶梯函数的奇摄动Burgers方程;然后进一步讨论激光等离子体产生有限振幅波传播的模型,得到初值是间断函数的奇摄动变系数Burgers方程;最后讨论初值是间断函数的奇摄动Navier-Stokes方程。我们对上述问题进行求解,主要内容如下:1、讨论具有间断初值的奇摄动线性混合型波方程。对于小振幅声波在弱阻尼介质中传播的问题,可用一类具有间断初值的奇摄动线性混合型波方程来描述。通过奇摄动方法对具有间断初值的线性混合型波方程构造相应形式的渐近解,渐近解包含外解和内部层矫正两部分。外解在影响区域边界产生角层现象,通过内部层矫正,并进行余项估计,得到L2意义下渐近解的一致有效性、连续性和一阶导函数连续的结果,相比于无阻尼的波方程,提高了渐近解的正则性。2、讨论初值是阶梯函数的奇摄动Burgers方程。研究激光等离子体产生的超声波模型,形成了初值是阶梯函数的奇摄动Burgers方程问题,通过奇摄动展开的方法得到了初值是阶梯函数的Burgers方程相应形式的奇摄动渐近解,渐近解包含外解和内部层矫正两部分。由于初值条件是阶梯函数,波在传播的过程中产生特征边界,即矫正项表现为抛物边界。对外解在特征边界上进行内部层矫正,利用Hopf-Cole变换、Fourier变换、极值原理证明了渐近解的存在性、唯一性,得到了形式渐近展开式,证明了形式渐近解的一致有效性。3、讨论初值是间断函数的奇摄动变系数Burgers方程。研究激光等离子体产生的超声波模型,形成了具有间断初值的奇摄动变系数Burgers方程问题。应用奇摄动方法,得到渐近展开式,渐近解包含外解和内解两部分。内解表现为抛物方程,利用试探函数法、极值原理等方法证明了渐近解的存在性、唯一性,得到了形式渐近展开式。最后通过极值原理进行余项估计,得到了形式渐近解的一致有效性。4、讨论初值是间断函数的奇摄动Navier-Stokes方程。研究激光等离子体产生的超声波模型,形成了具有间断初值的奇摄动Navier-Stokes方程问题。应用奇摄动方法,得到渐近解,渐近解包含外解和内解两部分。内解为微分方程组,首项直接求解,高阶项用常数变易法进行求解,得到了解的形式渐近展开式。最后通过余项估计得到形式渐近解的一致有效性。在研究过程中,我们综合应用了常微分方程,偏微分方程,非线性声学,数学分析,奇摄动理论等多个方面的知识,不仅丰富了间断初值问题的研究,还进一步在等离子体和超声波问题中得到应用。
毛晓晔[9]（2019）在《非线性边界条件下一维弹性结构的振动与控制》文中研究指明本文研究了一维弹性连续体非线性边界问题及非线性边界控制,提出了两种近似解析方法:模态修正-直接多尺度法和模态修正-广义谐波平衡法。基于以上两种近似解析方法及直接数值方法的验证,证实了非线性边界控制具有宽频作用优势,不仅适用于一般静态弹性连续体,还可用于轴向陀螺运动连续体。弹性连续体控制方程为偏微分形式,按经典解法,需要得到满足边界的模态函数,然后对控制方程作模态分解;但非线性边界或非齐次边界会使模态分解法失效。为克服该困难,使用摄动法解决非线性边值问题,使用模态修正法解决非齐次边值问题。模态修正法将控制方程解写为两部分,一部分满足线性齐次边界,另一部分为修正解。满足线性齐次边界的解即模态展开解,该解利用模态函数连续可微、正交有界的特性,将偏微分方程投影至模态空间中;修正解使整个解满足控制方程及非齐次边界,同时将非齐次项转变为模态空间离散控制方程中的激励,使原非齐次边值问题转化为齐次边值问题,进而使用已有方法进行常微分方程求解。多尺度法可将非线性项重刻度为不同时间尺度上线性非齐次项,将该过程施加于非线性边界,即可得到不同时间尺度上线性非齐次边值问题,然后借助模态修正法依次求解。然而多尺度过程仅考虑了共振模态解,高阶谐波及非共振解都被忽略,造成强非线性边值问题解精度下降。为此,将高阶谐波解及非共振解迭代入可解条件,可将忽略的非线性作用重新引入近似解中,经迭代后,近似解析解精度提高,从而将多尺度方法发展至强非线性边值问题。谐波平衡法可用于强非线性问题宽频响应求解,但不能直接用于偏微分方程,尤其是非线性边界偏微分方程。本文将非线性边界作为广义控制方程,同时引入对应的广义坐标,利用模态修正法将边界与控制方程耦合。控制方程经模态投影后得可到常微分控制方程,与边界一起构成增广控制方程组,经谐波平衡法后便可得到宽频稳态响应。物理意义上,边界决定了弹性连续体驻波形式,即模态函数;因此改变边界即可改变弹性连续体共振频率及模态函数。利用该思想,可对弹性连续体施加边界控制。本文提出了两种非线性边界隔振:基于原结构的附加非线性隔振以及准零刚度隔振。第一种隔振不改变原结构线性固有特性,利用边界非线性抑制共振响应。第二种隔振结构消除了原支撑线性刚度,实现高静态低动态支撑,可以隔离低频激励。本文还提出了边界非线性扭转吸振器,该吸振器利用横向振动在边界产生的转角汲取主结构能量,可对一维弹性体横向振动进行多模态共振控制。模态修正-多尺度法适用于求解模态共振响应;模态修正-广义谐波平衡法适用于求解宽频响应,这两种近似解析法都可用于强非线性边值的连续体振动问题。非线性边界隔振以及吸振的研究表明在边界处引入强非线性因素可对弹性连续体振动进行有效控制,给工程应用提供了积极的参考价值。
范晓婷[10]（2019）在《不可压缩Boussinesq方程组及其相关模型的渐近极限问题研究》文中提出Boussinesq方程组是常用来描述大气和海洋环流的动力学模型,在数学上它是流体速度场与温度（或密度）耦合而成的方程组.本文主要研究了温度带有非齐次狄利克雷（Dirichlet）边界条件的不可压缩Boussinesq方程组的边界层问题、速度场和温度都带有坏初值条件的Boussinesq方程组的初始层问题、速度场带有无滑移边界、坏初值条件并且温度带有非齐次狄利克雷边界条件的Boussinesq方程组的混合层问题以及速度场、温度和溶质浓度都带有坏初值条件的Boussinesq方程组的初始层问题这四种情况的渐近极限问题.所涉及的主要数学理论与研究方法有奇异摄动理论中的渐近展开匹配方法、截断函数方法、经典的能量方法等以及一些重要的不等式,如Poincare不等式,Cauchy-Schwarz不等式,Holder不等式,Young不等式,Sobolev嵌入定理等第一章,主要介绍不可压缩Boussinesq方程组的物理背景、模型简介、研究进展、预备知识和本文研究内容第二章,研究了矩形区域为H=（0,L1）×（0,L2）×[0,1],速度场带有无滑移边界条件、温度带有非齐次狄利克雷边界条件的不可压缩Boussinesq方程组的边界层问题.由于垂直方向有两个边界,故存在两个边界层.利用奇异摄动理论中的渐近匹配方法和多尺度分析得到了 0阶内函数方程组以及0阶边界层函数方程组,进而利用所得的内函数和边界层函数构造出近似解.最后利用经典的能量方法得到了当热扩散系数趋近于0时,近似解的收敛性估计第三章,研究了三维柱形区域Q=T×[0,1],环T=（R/2π）2,速度场和温度都带有坏初值条件的无量纲化Boussinesq方程组的初始层问题.对带有Rayleigh-Benard对流的Boussinesq方程组进行无量纲化,并结合Boussinesq 近似,考虑Prandtl数趋近于无穷,Boussinesq方程组的无量纲形式与其极限方程组的初始条件并不能匹配,产生了初始层.利用渐近匹配方法构造带有0阶和1阶内函数以及0阶和1阶初始层函数的近似解.进而求解近似解函数性质,结合近似解的方程推导误差方程,借助Gronwall不等式得到了误差函数的收敛性估计第四章,研究了速度场带有无滑移边界条件、坏初值条件以及温度带有非齐次狄利克雷边界条件的Boussinesq方程组的混合层问题.研究与第三章相同的简化模型,考虑Prandtl数趋近于无穷,简化方程组与其极限方程组速度的初始值的不匹配以及温度的边界值的不匹配,产生了初始层以及边界层.首先,构造速度带有初始层和温度带有上边界层、下边界层的0阶近似解,利用奇异摄动理论中的渐近匹配方法求解近似解函数的性质.其次,利用近似解方程组推导误差方程,并对误差函数进行能量估计,得到了无量纲化方程组与其极限方程组的收敛性.第五章,研究了速度场、温度和溶质浓度都带有坏初值条件的Boussinesq方程组的初始层问题.对带有thermosolutal对流的Boussinesq方程组进行无量纲分析和Oberbeck-Boussinesq近似,利用渐近匹配方法,结合经典能量法得到了当Prandtl数趋近于无穷,无量纲化方程组的解的渐近极限收敛性.
二、非齐次偏微分方程混合问题的形式解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、非齐次偏微分方程混合问题的形式解（论文提纲范文）
（1）格林函数以及在常微分方程中的应用（论文提纲范文）
| 1 一阶常微分方程初值问题和格林函数 |
| 1.1 解的格林函数表示考虑一阶线性常微分方程 |
| 1.2 格林函数表达式 |
| 2 二阶常微分方程边值问题和格林函数 |
| 2.1 初值问题解的表示 |
| 2.2 格林函数的计算 |
| 3 二阶微分方程初值问题和格林函数 |
| 4 Sturm-Liouville问题和格林函数 |
| 5 不混合边值问题和格林函数 |
| 6 混合边值问题和格林函数 |
| 7 高阶常微分方程边值问题和格林函数 |
（2）常微分方程理论在“数学物理方程”课程中的应用（论文提纲范文）
| 一、引言 |
| 二、具体实例 |
| （一）求偏微分方程的特解 |
| （二）分离变量法 |
| （三）傅里叶变换方法 |
| 三、结语 |
（3）非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 几类特殊的精确解 |
| 1.1.1 孤立波 |
| 1.1.2 怪波(rogue wave) |
| 1.1.3 Lump波 |
| 1.1.4 呼吸子 |
| 1.2 一些基本的方法 |
| 1.2.1 Hirota双线性方法 |
| 1.2.2 Bell多项式 |
| 1.2.3 Backlund变换 |
| 1.3 论文的主要内容和安排 |
| 第二章 Lump解及其交互作用解 |
| 2.1 Lump解求解方法 |
| 2.2 (3+1)维孤子方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.2.1 Lump解和孤子解之间的交互作用 |
| 2.2.2 Lump解和周期解之间的交互作用 |
| 2.3 (2+1)维非对称NNV方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.3.1 Lump解 |
| 2.3.2 Lump波和孤子的交互作用解 |
| 2.4 修改后的lump解求解方法 |
| 2.5 (3+1)维广义变系数KP方程的lump解 |
| 2.5.1 Lump解 |
| 2.5.2 动力学行为分析 |
| 2.6 (2+1)维变系数KP方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.6.1 Lump解 |
| 2.6.2 Lump波和单孤立波交互作用 |
| 2.6.3 Lump波和双孤立波交互作用 |
| 第三章 (2+1)维破裂孤子方程的新双周期孤子解 |
| 3.1 (2+1)维破裂孤子方程 |
| 3.2 (2+1)维破裂孤子方程的新双周期解 |
| 第四章 (3+1)维BLMP方程的非行波精确解 |
| 4.1 (3+1)维BLMP方程 |
| 4.2 (3+1)维BLMP方程的非行波精确解 |
| 第五章 浅水波方程的自Backlund变换和多孤子解 |
| 5.1 (3+1)维广义浅水波方程 |
| 5.2 自Backlund变换 |
| 5.3 非行波孤子型解 |
| 5.4 多孤子解 |
| 5.5 总结 |
| 第六章 KP方程、Ito方程、KdV方程与变系数浅水波方程的精确解 |
| 6.1 新(3+1)维广义KP方程的周期孤立波解 |
| 6.2 (2+1)维Ito方程的周期孤立波解 |
| 6.3 (2+1)维KdV方程的精确解 |
| 6.4 (3+1)维广义变系数浅水波方程精确解及动力学性质 |
| 6.4.1 精确解 |
| 6.4.2 动力学行为分析 |
| 第七章 Boussinesq方程和变系数KP方程的多怪波解 |
| 7.1 Boussinesq方程的多怪波解 |
| 7.1.1 针对常系数方程改进的符号计算方法 |
| 7.1.2 多怪波解 |
| 7.2 变系数KP方程的多怪波解 |
| 7.2.1 针对变系数方程改进的符号计算方法 |
| 7.2.2 多怪波解 |
| 第八章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表和完成的学术论文目录 |
（4）带有时间依赖系数热传导方程与积分方程反问题研究以及变分迭代法应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号说明 |
| 第1章 简介 |
| 1.1 反问题概述 |
| 1.2 反问题实例 |
| 1.2.1 逆时问题 |
| 1.2.2 第一类Fredholm积分方程问题 |
| 1.2.3 源项识别问题 |
| 1.3 正则化方法 |
| 1.4 论文框架结构 |
| 1.5 研究创新之处 |
| 第2章 带有时间依赖系数的逆时问题及正则化 |
| 2.1 带有时间依赖系数的逆时问题 |
| 2.2 带有时间依赖系数逆时问题的正则化 |
| 2.2.1 对数凸方法 |
| 2.2.2 二维圆盘区域逆时问题的正则化 |
| 2.2.3 拟逆方法 |
| 2.3 小结 |
| 第3章 变分迭代法 |
| 3.1 变分迭代法简介 |
| 3.2 变分迭代法应用 |
| 3.2.1 求解参数识别问题 |
| 3.2.2 求解逆时问题 |
| 3.3 逐步变分迭代法 |
| 3.3.1 逐步变分迭代法与变分迭代法的比较 |
| 3.3.2 逐步变分迭代法的应用 |
| 3.4 小结 |
| 第4章 变分迭代法在反问题中的应用 |
| 4.1 变分迭代法求解逆时问题 |
| 4.2 求解第一类Fredholm积分方程 |
| 4.3 求解第一类Volterra积分方程 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 结论与展望 |
| 5.1 全文总结 |
| 5.2 工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（5）基于器官图像重构中的径向基无网格方法应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 器官成像研究现状 |
| 1.2.2 无网格方法研究现状 |
| 1.3 本文主要研究内容 |
| 2 径向基无网格方法 |
| 2.1 径向基插值 |
| 2.1.1 插值基函数 |
| 2.1.2 稳定性分析 |
| 2.1.3 留一法交叉验证(LOOCV) |
| 2.2 Kansa方法 |
| 2.3 近似特解法(MAPS) |
| 2.4 局部近似特解法(LMAPS) |
| 2.4.1 确定各配置点的近邻域 |
| 2.4.2 求各配置点处数值解的局部表达式 |
| 2.4.3 求各配置点处数值解的全局表达式 |
| 2.4.4 简单例子 |
| 2.5 基本解方法(MFS) |
| 2.6 本章小结 |
| 3 基于Matern核函数推导Helmholtz型方程的特解 |
| 3.1 二维Helmholtz型偏微分方程的特解 |
| 3.2 三维Helmholtz型偏微分方程的特解 |
| 3.3 Helmholtz型算子乘积的特殊解 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 求解2D情况下的修正Helmholtz方程边值问题 |
| 3.4.2 求解3D情况下的修正Helmholtz方程边值问题 |
| 3.4.3 2D情况下具有两个边界条件的复合Helmholtz方程 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 基于无网格方法的PDEs图像重构 |
| 4.1 隐式曲面的PDEs识别 |
| 4.2 MAPS求解隐式曲面的步骤 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.3.1 简单3D图像的表面重构 |
| 4.3.2 简单器官图像的重构和修复 |
| 4.3.3 不规则复杂器官图像重构 |
| 4.3.4 大规模数据不规则图像重构 |
| 4.4 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 附录1 程序 |
| 附录2 公式 |
| 2.1 不同RBFS的各个算子下的特解 |
| 2.2 不同微分算子下的基本解 |
| 2.3 符号说明 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（6）分数阶变分问题的最优性条件、Noether定理与分数阶微分方程的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.3.1 单变量分数阶变分问题 |
| 1.3.2 多变量分数阶变分问题 |
| 1.3.3 分数阶微分方程的不变子空间法 |
| 1.3.4 分数阶微分方程的子方程法 |
| 1.3.5 本文的结构 |
| 第2章 单变量分数阶变分问题:最优性条件及Noether定理 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 最优性条件和Noether定理 |
| 2.2.1 Hamilton原理和Euler-Lagrange方程 |
| 2.2.2 Noether对称性 |
| 2.2.3 Noether定理 |
| 2.2.4 Noether逆定理 |
| 2.3 算例 |
| 2.4 结论 |
| 第3章 多变量分数阶变分问题:最优性条件及Noether定理 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 最优性条件和Noether定理 |
| 3.2.1 Ostrogradsky方程 |
| 3.2.2 Legendre条件 |
| 3.2.3 具有完整约束的分数阶变分问题 |
| 3.2.4 分数阶等周问题 |
| 3.2.5 Noether定理 |
| 3.3 算例 |
| 3.4 结论 |
| 第4章 分数阶微分方程的不变子空间法 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 不变子空间法 |
| 4.3 不变子空间法的应用 |
| 4.3.1 时间-空间分数阶扩散方程 |
| 4.3.2 时间-空间分数阶微分方程的初值问题 |
| 4.3.3 带有吸收项的时间-空间分数阶波动方程的初值问题 |
| 4.3.4 广义带有吸收项的时间-空间分数阶波动方程 |
| 4.3.5 时间-空间分数阶色散方程 |
| 4.3.6 时间-空间分数阶热方程 |
| 4.3.7 广义时间-空间双曲热传导方程 |
| 4.3.8 Fokker-Planck方程 |
| 4.4 结论 |
| 第5章 分数阶微分方程的子方程法 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 改进的子方程法简介 |
| 5.3 改进的子方程法的应用 |
| 5.3.1 广义时间分数阶生物种群模型 |
| 5.3.2 广义时间分数阶复合Kd V-Burgers方程 |
| 5.3.3 时间-空间分数阶正则长波方程 |
| 5.3.4 广义(3+1)维时间-空间分数阶Zakharov-Kuznetsov方程 |
| 5.4 结论 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 内容总结 |
| 6.2 创新点 |
| 6.3 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录1 攻读博士学位期间取得的科研成果 |
| 附录2 攻读博士学位期间参加的科研项目 |
（7）非线性局域波及其动力学分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性局域波及其动力学研究 |
| 1.2 非线性局域波的求解方法及其研究 |
| 1.3 符号计算在非线性可积系统中的应用 |
| 1.4 本文的选题和主要工作 |
| 第2章 广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.1 广义双线性Backlund变换与非线性局域波的关系及其构造算法研究 |
| 2.2 3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.2.1 3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.2.2 3+1维非线性波方程的非线性局域波 |
| 2.3 广义3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.3.1 广义3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.3.2 广义3+1维非线性波方程的非线性局域波 |
| 2.4 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.4.1 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.4.2 4+1维Fokas方程的非线性局域波 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 Darboux变换及非线性局域波 |
| 3.1 Lax对与可积系统关系的符号计算算法研究及其实现 |
| 3.1.1 Laxpairtest程序包 |
| 3.1.2 Laxpairtest程序包应用实例 |
| 3.2 AB-NLS方程的Darboux变换 |
| 3.2.1 AB-NLS方程 |
| 3.2.2 AB-NLS方程的Darboux变换 |
| 3.3 AB-NLS方程的非线性波 |
| 3.3.1 AB-NLS方程的1-孤子解 |
| 3.3.2 AB-NLS方程的2-孤子解 |
| 3.4 AB-NLS方程的周期解 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 高维非线性系统的lump解及其动力学分析 |
| 4.1 4+1维Fokas方程的lump解 |
| 4.2 4+1维Fokas方程lump解的动力学分析 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 高维非线性系统的高阶怪波及其演化 |
| 5.1 一个新的符号计算方法 |
| 5.2 3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化 |
| 5.3 广义3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 KdV-SCS方程的若干非线性局域波解 |
| 6.1 KdV-SCS方程的双曲函数解 |
| 6.2 KdV-SCS方程的Jacobi椭圆函数解 |
| 6.3 KdV-SCS方程的(G'/G)-扩展法 |
| 6.3.1 (G'/G)-扩展法 |
| 6.3.2 KdV-SCS方程的(G'/G)-扩展法的应用 |
| 6.4 KdV-SCS方程的群不变解 |
| 6.5 KdV-SCS方程的Painleve性质 |
| 6.6 本章小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的科研成果 |
（8）间断初值Burgers方程和Navier-Stokes方程奇摄动解及其在等离子体中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 等离子体的研究现状 |
| 1.3 奇摄动Navier-Stokes方程的研究现状 |
| 1.4 本文的主要内容 |
| 2 具有间断初值的线性混合型波方程奇摄动解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 模型建立 |
| 2.3 形式展开 |
| 2.3.1 外部解形式渐近展开 |
| 2.3.2 内部解形式渐近展开 |
| 2.4 余项估计 |
| 3 具有阶梯函数的Burgers方程的奇摄动解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 模型建立 |
| 3.3 形式展开 |
| 3.3.1 外部解形式渐近展开 |
| 3.3.2 内部解形式渐近展开 |
| 3.4 余项估计 |
| 4 具有间断初值的变系数Burgers方程奇摄动解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型建立 |
| 4.3 形式展开 |
| 4.3.1 外部解形式渐近展开 |
| 4.3.2 内部解形式渐近展开 |
| 4.4 余项估计 |
| 5 具有间断初值的Navier-Stokes方程组奇摄动解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 模型建立 |
| 5.3 形式展开 |
| 5.3.1 外部解形式渐近展开 |
| 5.3.2 内部解形式渐近展开 |
| 5.4 余项估计 |
| 6 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
（9）非线性边界条件下一维弹性结构的振动与控制（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题来源 |
| 1.2 课题研究的目的和意义 |
| 1.3 国内外研究概况 |
| 非线性隔振优势 |
| 弹性连续体被动隔振 |
| 非线性吸振优势 |
| 弹性连续体被动吸振 |
| 边值问题 |
| 1.4 论文的主要研究内容及创新性 |
| 第二章 非齐次边界的模态修正 |
| 2.1 杆振动模型 |
| 2.2 分析方法 |
| 2.2.1 模态修正 |
| 2.2.2 行波法 |
| 2.2.3 微分求积法(DQM) |
| 2.3 数值算例 |
| 2.4 小结 |
| 第三章 模态修正-直接多尺度法及应用 |
| 3.1 数学模型 |
| 3.1.1 Hamilton 原理建立控制方程 |
| 3.1.2 线性派生系统及固有频率 |
| 3.2 分析方法 |
| 3.2.1 多尺度法 |
| 3.2.2 微分单元求积法(DQEM) |
| 3.3 数值算例 |
| 3.3.1 主共振响应 |
| 3.3.2 结构总响应 |
| 3.4 原边界验证 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 模态修正广义谐波平衡法及应用 |
| 4.1 方法介绍 |
| 4.2 数值算例 |
| 4.2.1 杆的振动 |
| 4.2.2 梁的振动 |
| 4.3 小结 |
| 第五章 非线性边界隔振设计及分析 |
| 5.1 数学模型 |
| 5.1.1 Hamilton原理建立控制方程 |
| 5.1.2 线性派生系统及固有频率 |
| 5.2 线性梁的非线性边界隔振 |
| 5.2.1 修正模态-多尺度法过程 |
| 5.2.2 多尺度法迭代 |
| 5.2.3 数值算例 |
| 5.3 非线性梁的非线性边界隔振 |
| 5.3.1 修正模态-多尺度法过程及迭代 |
| 5.3.2 微分-积分求积单元法(DIQEM) |
| 5.3.3 数值算例 |
| 5.4 迭代对强非线性边界的意义 |
| 5.5 小结 |
| 第六章 非线性边界吸振设计及分析 |
| 6.1 数学模型 |
| 6.1.1 Hamilton原理建立控制方程 |
| 6.1.2 线性派生系统及固有频率 |
| 6.2 线性梁的非线性边界吸振 |
| 6.2.1 修正模态-多尺度法过程 |
| 6.2.2 含附加ODE的微分求积法 |
| 6.2.3 数值算例 |
| 6.2.4 参数优化 |
| 6.3 非线性梁的非线性边界吸振 |
| 6.3.1 修正模态-多尺度法过程 |
| 6.3.2 数值算例 |
| 6.4 小结 |
| 第七章 弹性结构准零刚度隔振 |
| 7.1 数学模型 |
| 7.1.1 Hamilton原理建立控制方程 |
| 7.1.2 线性派生系统及固有频率 |
| 7.2 非对称结构准零刚度隔振效果 |
| 7.2.1 修正模态-广义HBM过程 |
| 7.2.2 数值算例 |
| 7.3 对称结构准零刚度隔振效果 |
| 7.3.1 小刚度支撑数值算例 |
| 7.3.2 大刚度支撑数值算例 |
| 7.4 小结 |
| 第八章 陀螺连续体非线性边值问题的广义谐波平衡法 |
| 8.1 方法介绍 |
| 8.2 轴向运动梁 |
| 8.3 输液管道 |
| 8.4 小结 |
| 第九章 输液管非线性边界吸振 |
| 9.1 数学模型 |
| 9.1.1 Hamilton原理建立控制方程 |
| 9.1.2 线性派生系统及固有频率 |
| 9.2 吸振器效能 |
| 9.3 吸振器参数分析及优化 |
| 9.4 流体流速对吸振器效能的影响 |
| 9.5 小结 |
| 第十章 结论与展望 |
| 10.1 结论 |
| 10.2 展望 |
| 附录 |
| 附录A |
| 附录B |
| 附录C |
| 参考文献 |
| 作者在攻读博士学位期间完成论文 |
| 作者迄今已发表论文 |
| 致谢 |
（10）不可压缩Boussinesq方程组及其相关模型的渐近极限问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 前言 |
| 1.2 模型简介 |
| 1.3 研究进展 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.5 本文主要研究内容 |
| 第2章 温度带有非齐次狄利克雷边界条件的不可压缩Boussinesq方程组的边界层问题 |
| 2.1 模型与定理 |
| 2.2 边界层的推导 |
| 2.3 近似解的构造与渐近分析 |
| 2.4 能量估计 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 速度场和温度都带有坏初值条件的不可压缩Boussinesq方程组的初始层问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要结果 |
| 3.3 近似解的构造与渐近分析 |
| 3.4 定理证明 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 速度场带有坏初值条件以及温度带有非齐次狄利克雷边界条件的不可压缩Boussinesq方程组的混合层问题 |
| 4.1 模型 |
| 4.2 初始层、边界层的推导 |
| 4.3 近似解的构造与渐近分析 |
| 4.4 主要结论 |
| 4.5 能量估计 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 速度场、温度和溶质浓度带有坏初值条件的Boussinesq方程组的初始层问题 |
| 5.1 模型 |
| 5.2 近似解的构造与渐近分析 |
| 5.3 主要结果 |
| 5.4 定理证明 |
| 5.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间所发表的学术论文 |
| 致谢 |
四、非齐次偏微分方程混合问题的形式解（论文参考文献）
- [1]格林函数以及在常微分方程中的应用[J]. 钱光耀,闫若琨,汪泽西,郑神州. 大学物理, 2021(09)
- [2]常微分方程理论在“数学物理方程”课程中的应用[J]. 危苏婷. 教育教学论坛, 2021(21)
- [3]非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究[D]. 刘建国. 北京邮电大学, 2021(01)
- [4]带有时间依赖系数热传导方程与积分方程反问题研究以及变分迭代法应用[D]. 马宗立. 中国科学技术大学, 2020(01)
- [5]基于器官图像重构中的径向基无网格方法应用研究[D]. 刘晓艳. 太原理工大学, 2020(07)
- [6]分数阶变分问题的最优性条件、Noether定理与分数阶微分方程的精确解[D]. 蒋君. 武汉科技大学, 2020(01)
- [7]非线性局域波及其动力学分析[D]. 申亚丽. 陕西师范大学, 2019(01)
- [8]间断初值Burgers方程和Navier-Stokes方程奇摄动解及其在等离子体中的应用[D]. 胡玉博. 杭州电子科技大学, 2020(01)
- [9]非线性边界条件下一维弹性结构的振动与控制[D]. 毛晓晔. 上海大学, 2019(02)
- [10]不可压缩Boussinesq方程组及其相关模型的渐近极限问题研究[D]. 范晓婷. 北京工业大学, 2019(04)